Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
  1. f(x)=\frac{x-1}{|x-1|} em x=1

Passo 1

O enunciado pede: calcular os limites laterais de f(x)=\dfrac{x-1}{|x-1|} no ponto x=1 e dizer se o limite \lim_{x\to1}f(x) existe. Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x-1}{|x-1|}.
  • O ponto onde queremos os limites é x=1.
  • Observação imediata (informação útil): em x=1 o denominador |x-1|=0, então f(1) não está definida (é uma forma 0/0). A questão, porém, pede apenas os limites laterais e a existência do limite.

Passo 2

Entender o que são limites laterais e a definição do valor absoluto:
  • Definição de limite lateral: \lim_{x\to1^-}f(x)\) significa o valor que \(f(x)\) tende quando \(x\) se aproxima de \(1\) vindo da esquerda (valores menores que \(1\)). \(\lim_{x\to1^+}f(x)\) é o valor quando \(x\) se aproxima de \(1\) vindo da direita (valores maiores que \(1\)). - Regra do valor absoluto usada aqui: para qualquer número real \(t\), \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aplicando com t=x-1\], obtemos a expressão de \(|x-1| em duas regiões separadas em torno de x=1. Esse é o passo-chave: substituir |x-1| pela expressão correta dependendo se x>1 ou x<1.]

Passo 3

Calcular o limite pela direita ( x\to1^+). Para x>1 tem-se x-1>0, então
|x-1|=x-1.
Substituindo em f(x):
f(x)=\frac{x-1}{|x-1|}=\frac{x-1}{x-1}=1\quad\text{para todo }x>1.
Assim, ao aproximar x de 1 pela direita (por exemplo x=1+h com h>0 pequeno), f(x)=1 sempre, logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=1.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda ( x\to1^-). Para x<1 tem-se x-1<0, então
|x-1|=-(x-1)=1-x.
Substituindo em f(x):
f(x)=\frac{x-1}{|x-1|}=\frac{x-1}{1-x}=\frac{x-1}{-(x-1)}=-1\quad\text{para todo }x<1.
Assim, ao aproximar x de 1 pela esquerda (por exemplo x=1-h com h>0 pequeno), f(x)=-1 sempre, logo
\lim_{x\to1^-}f(x)=-1.

Passo 5

Condição para existência do limite em um ponto: o limite \lim_{x\to1}f(x) existe se, e somente se, os limites laterais forem iguais:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x).
Aqui encontramos \lim_{x\to1^-}f(x)=-1 e \lim_{x\to1^+}f(x)=1, que são diferentes. Portanto o limite \lim_{x\to1}f(x) não existe. (Obs.: além disso, f(1) não está definida.)

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=-1
\displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=1
\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\\ \text{não existe}ã

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