Determinar:
22)
22)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da expressão
Ou seja, a pergunta é: qual é o valor de
As informações que temos são apenas a expressão trigonométrica dada e que o limite é quando
.
Passo 2
Vamos lembrar definições e uma identidade útil. A função cotangente é definida por
e a tangente por
A partir dessas definições, podemos mostrar que
Portanto, dentro do limite podemos substituir
por
.
Passo 3
Substituindo na expressão do limite obtemos
Escrevendo tudo em senos e cossenos:
Passo 4
Usamos a identidade de ângulo duplo
que vem da fórmula
aplicada com
. Substituindo
na expressão:
Agora podemos cancelar
(para
próximo de
, mas diferente de
,
; a operação é válida para a análise do limite):
Passo 5
Reescrevendo a fração fica mais fácil avaliar o limite:
Usando a identidade
, temos
Portanto a expressão vale
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. A função
é contínua onde
, e
, então
Logo
Passo 7
Verificação rápida alternativa (intuição): para ângulos pequenos
e
, então o produto
, o que confirma o resultado obtido.