Determinar:
22) \lim _{x \rightarrow 0} \cot (2 x) \cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a 0 da expressão
\cot(2x)\,\cot\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right).
Ou seja, a pergunta é: qual é o valor de
\lim_{x\to 0}\cot(2x)\,\cot\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)?
As informações que temos são apenas a expressão trigonométrica dada e que o limite é quando x\to 0.

Passo 2

Vamos lembrar definições e uma identidade útil. A função cotangente é definida por
\cot t=\frac{\cos t}{\sin t},
e a tangente por
\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}.
A partir dessas definições, podemos mostrar que
\cot\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x.
Portanto, dentro do limite podemos substituir \cot\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) por \tan x.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite obtemos
\cot(2x)\,\cot\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot(2x)\,\tan x.
Escrevendo tudo em senos e cossenos:
\cot(2x)\,\tan x=\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}.

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo duplo
\sin(2x)=2\sin x\cos x,
que vem da fórmula \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b aplicada com a=b=x. Substituindo \sin(2x) na expressão:
\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{\cos(2x)}{2\sin x\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}.
Agora podemos cancelar \sin x (para x próximo de 0, mas diferente de 0, \sin x\neq0; a operação é válida para a análise do limite):
\frac{\cos(2x)}{2\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x} =\frac{\cos(2x)}{2\cos^2 x}.

Passo 5

Reescrevendo a fração fica mais fácil avaliar o limite:
\frac{\cos(2x)}{2\cos^2 x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos(2x)}{\cos^2 x}.
Usando a identidade \cos(2x)=2\cos^2 x-1, temos
\frac{\cos(2x)}{\cos^2 x}= \frac{2\cos^2 x-1}{\cos^2 x}=2-\frac{1}{\cos^2 x}=2-\operatorname{sec}^2 x.
Portanto a expressão vale
\frac{1}{2}\bigl(2-\operatorname{sec}^2 x\bigr)=1-\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2 x.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando x\to 0. A função \operatorname{sec}^2 x é contínua onde \cos x\neq0, e \cos 0=1, então
\lim_{x\to 0}\operatorname{sec}^2 x=\operatorname{sec}^2 0=1.
Logo
\lim_{x\to 0}\left(1-\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2 x\right)=1-\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 7

Verificação rápida alternativa (intuição): para ângulos pequenos \tan x\approx x e \cot(2x)\approx\frac{1}{2x}, então o produto \cot(2x)\tan x\approx\frac{1}{2x}\cdot x=\tfrac{1}{2}, o que confirma o resultado obtido.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados