Determinar:
19)
19)
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a zero:
onde
é um parâmetro constante (assumir
). Vou listar o que temos:
- A expressão depende de
e do parâmetro . - O ponto de interesse é
. - A pergunta é: qual é o valor desse limite em termos de
?
Passo 2
Tratar primeiro o caso
, que é especial e simples. Se
então, para todo
,
logo a razão é identicamente zero e, portanto,
Passo 3
Agora considerar o caso
. Faço a substituição auxiliar
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
obtemos
Como
temos
, portanto
Assim
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Calcular agora
Usar a representação integral de
:
Para
(região onde
está definido), nota-se que, para
entre
e
,
Integrando essas desigualdades entre
e
obtém-se, para
próximo de
,
e a mesma desigualdade globalmente válida (com os sinais corretos) também vale quando
é negativo próximo de zero:
Agora dividir essas desigualdades por
e tratar os sinais com cuidado:
- Se
,
- Se
,
Em ambos os casos as duas funções extremas têm limite
quando
:
Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) conclui-se
Passo 5
Voltando à relação obtida no Passo 3, para
temos
Para
(caso tratado no Passo 2) o limite vale
, que coincide com a expressão
nesse caso. Portanto a fórmula final vale para todo
.