Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}.
03) f(x)=\left\{\begin{aligned}(x+2)^{2}-8, & \text { se } x<1 \A x+B, & \text { se } 1 \leq x<3 \\\ -(x-5)^{2}+9, & \text { se } x \geq 3\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores das constantes [A) e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}.
As informações do enunciado (a função por partes) são:
f(x)=\begin{cases} (x+2)^{2}-8, & \text{se } x<1,\\[4pt] A x + B, & \text{se } 1 \le x < 3,\\[4pt] -(x-5)^{2}+9, & \text{se } x \ge 3. \end{cases}
Pontos onde a continuidade pode falhar (os “pontos de junção” entre ramos): x=1\] e \(x=3. Em todos os outros x cada ramo é uma função polinomial/linear, que é contínua em todo lugar.]
Passo 2
Conceito útil que vamos usar (explicado com calma): para que uma função seja contínua num ponto c precisamos que o limite à esquerda em c, o limite à direita em c e o valor f\text{(c)} (quando definido) coincidam. Em fórmulas, para que f seja contínua em c devemos ter
No caso de funções por partes onde cada ramo é polinomial ou linear, os limites laterais são simplesmente os valores das expressões correspondentes avaliadas no ponto c. Ou seja, basta igualar os valores das expressões dos ramos que se encontram em c.
Passo 3
Analisar a continuidade em x=1.
Calcular o limite pela esquerda (usando o ramo x<1):
\lim_{x\to 1^-} f(x) = (1+2)^{2}-8.
Agora calcular:
(1+2)^{2}-8 = 3^{2}-8 = 9-8 = 1.
Portanto \displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)=1.
Passo 4
Calcular o limite pela direita em x=1 (e também o valor em x=1, já que o ramo Ax+B está definido em 1\le x<3).
A expressão do ramo é Ax+B, então
\lim_{x\to 1^+} f(x) = A\cdot 1 + B = A + B,
e f(1)=A+B.
Para continuidade em x=1 precisamos que
\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^+} f(x).
Substituindo valores já encontrados:
1 = A + B.
Essa é a primeira equação entre A e B.
Passo 5
Analisar a continuidade em x=3.
Calcular o limite pela esquerda em x=3 (usando o ramo 1\le x<3, que é Ax+B):
\lim_{x\to 3^-} f(x) = A\cdot 3 + B = 3A + B.
Passo 6
Calcular o limite pela direita em x=3 e o valor em x=3 (ramo x\ge 3: -(x-5)^{2}+9).
Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações obtidas:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 3A + B = 5. \end{cases}
Subtrair a primeira equação da segunda para eliminar B:
(3A+B)-(A+B)=5-1.
No lado esquerdo 3A+B-A-B=2A. No lado direito 5-1=4. Logo
2A = 4.
Dividindo por 2:
A = 2.
Substituir A=2 em A+B=1:
2 + B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = 1 - 2 = -1.]
Passo 8
Verificação rápida (para ficar tranquilo): com A=2 e B=-1,
em x=1: Ax+B = 2\cdot 1 -1 = 1, que coincide com o limite da esquerda 1;
em x=3: 3A+B = 3\cdot 2 -1 = 6-1 =5, que coincide com o valor do ramo da direita 5.
Portanto com esses valores a função fica contínua em 1 e em 3; como os demais ramos são contínuos em todos os demais pontos, a função é contínua em \mathbb{R}.