Para determinar a aceleração da gravidade local fez-se um experimento em que o período de oscilação ( T ) de um pêndulo simples foi medido em função do seu comprimento (L). Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo.
\mathrm{L}(\mathrm{cm})
\mathrm{T}(\mathrm{s})
21,0 \pm 0,2
1,01 \pm 0,01
41,2
1,35
55,0
1,52
70,8
1,72
89,5
1,92
98,0
2,01
114,0
2,17
125,2
2,26
134,2
2,36
141,8
2,41
O modelo teórico para o pêndulo simples prevê que, para pequenos ângulos de oscilação, o período varia com o comprimento (L) segundo a equação \mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ }(\mathrm{L} / \mathrm{g}). Onde g é o valor da aceleração da gravidade no local. Determine o valor de g a partir da análise de dados realizada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor da aceleração da gravidade local g a partir dos dados experimentais do período T de um pêndulo simples medido para diferentes comprimentos L.
Informações relevantes fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
A partir desses dados devemos obter um valor numérico para g.]
Passo 2
Estratégia (o que vamos fazer, sem cálculos ainda): linearizar a equação teórica para obter uma relação linear entre grandezas medidas, ajustar uma reta por mínimos quadrados aos dados linearizados, extrair g a partir do coeficiente angular dessa reta e estimar a incerteza.
Observação importante (didática rápida): se tivermos uma relação do tipo T = 2\pi\sqrt{L/g}, ao elevar ao quadrado obtemos uma forma linear em L:
T^{2} = \left( \dfrac{4\pi^{2}}{g}\right) L.
Isto mostra que T^{2} deve variar linearmente com L. Denotando a reta ajustada por
T^{2} = mL + b,
o coeficiente angular m relaciona-se com g por
m = \dfrac{4\pi^{2}}{g}\quad\Rightarrow\quad g = \dfrac{4\pi^{2}}{m}.
Vamos então calcular T^{2}, ajustar uma reta T^{2} vs L por mínimos quadrados (usando a fórmula usual de regressão linear) e obter g.
Passo 3
Converter os comprimentos para o SI (1\\ \text{cm}=0,01\\ \text{m}) e calcular T^{2}. Montei a tabela com L em metros e T^{2} em \text{s}^{2} (peguei os valores originais da tabela do enunciado e converti):
Comentário didático: idealmente teoricamente b=0, mas experimentos reais frequentemente apresentam um pequeno desvio (erro sistemático, offset no comprimento efetivo, etc.). Usar m é a forma correta para extrair g.
Passo 6
Extrair g a partir de m. Recordando m = \dfrac{4\pi^{2}}{g}, temos
g \approx \dfrac{39{,}4784176}{3{,}98492}\approx 9{,}907\\ \text{m/s}^{2}.
Passo 7
Estimativa da incerteza (didática passo a passo):
Primeiro calculei os resíduos r_{i}=T^{2}_{\text{obs},i}-(mL_{i}+b) e a soma dos quadrados dos resíduos SSR. Encontrei
SSR \approx 0{,}0106532\\ (\text{s}^{4}).
A variância residual estimada é \hat{\sigma}^{2} = SSR/(n-2) \approx 0{,}00133165\\ (\text{s}^{4}), então \hat{\sigma}\approx 0{,}03650\\ \text{s}^{2}.
Propagando a incerteza para g usando g=4\pi^{2}/m e \sigma_{g} = \left|\dfrac{\partial g}{\partial m}\right|\sigma_{m} = \dfrac{4\pi^{2}}{m^{2}}\sigma_{m}, obtemos
\sigma_{g}\approx 0{,}023\\ \text{m/s}^{2}.
Portanto o resultado com incerteza experimental é
g = 9{,}907 \pm 0{,}023\\ \text{m/s}^{2}.
Pequena observação final: essa incerteza reflete o ajuste linear aos dados e a dispersão observada; se desejarmos incluir explicitamente as incertezas individuais de L e T (por exemplo o primeiro ponto tinha L e T com incertezas dadas), um ajuste ponderado poderia ser feito e mudaria levemente o valor e a incerteza.