Para determinar a aceleração da gravidade local fez-se um experimento em que o período de oscilação ( T ) de um pêndulo simples foi medido em função do seu comprimento (L). Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo.
\mathrm{L}(\mathrm{cm}) \mathrm{T}(\mathrm{s})
21,0 \pm 0,2 1,01 \pm 0,01
41,2 1,35
55,0 1,52
70,8 1,72
89,5 1,92
98,0 2,01
114,0 2,17
125,2 2,26
134,2 2,36
141,8 2,41
O modelo teórico para o pêndulo simples prevê que, para pequenos ângulos de oscilação, o período varia com o comprimento (L) segundo a equação \mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ }(\mathrm{L} / \mathrm{g}). Onde g é o valor da aceleração da gravidade no local. Determine o valor de g a partir da análise de dados realizada.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor da aceleração da gravidade local g a partir dos dados experimentais do período T de um pêndulo simples medido para diferentes comprimentos L.
Informações relevantes fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{cc} L (\text{cm}) & T (\text{s})\\[4pt] 21,0\pm0,2 & 1,01\pm0,01\\\\ 41,2 & 1,35\\\\ 55,0 & 1,52\\\\ 70,8 & 1,72\\\\ 89,5 & 1,92\\\\ 98,0 & 2,01\\\\ 114,0 & 2,17\\\\ 125,2 & 2,26\\\\ 134,2 & 2,36\\\\ 141,8 & 2,41 \end{array}
O modelo teórico dado é a relação entre T e L:
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
A partir desses dados devemos obter um valor numérico para g.]

Passo 2

Estratégia (o que vamos fazer, sem cálculos ainda): linearizar a equação teórica para obter uma relação linear entre grandezas medidas, ajustar uma reta por mínimos quadrados aos dados linearizados, extrair g a partir do coeficiente angular dessa reta e estimar a incerteza.
Observação importante (didática rápida): se tivermos uma relação do tipo T = 2\pi\sqrt{L/g}, ao elevar ao quadrado obtemos uma forma linear em L:
T^{2} = \left( \dfrac{4\pi^{2}}{g}\right) L.
Isto mostra que T^{2} deve variar linearmente com L. Denotando a reta ajustada por
T^{2} = mL + b,
o coeficiente angular m relaciona-se com g por
m = \dfrac{4\pi^{2}}{g}\quad\Rightarrow\quad g = \dfrac{4\pi^{2}}{m}.
Vamos então calcular T^{2}, ajustar uma reta T^{2} vs L por mínimos quadrados (usando a fórmula usual de regressão linear) e obter g.

Passo 3

Converter os comprimentos para o SI ( 1\\ \text{cm}=0,01\\ \text{m}) e calcular T^{2}. Montei a tabela com L em metros e T^{2} em \text{s}^{2} (peguei os valores originais da tabela do enunciado e converti):
\begin{array}{ccc} \text{Índice} & L\\ (\text{m}) & T^{2}\\ (\text{s}^{2})\\[4pt] 1 & 0,210 & 1,0201\\\\ 2 & 0,412 & 1,8225\\\\ 3 & 0,550 & 2,3104\\\\ 4 & 0,708 & 2,9584\\\\ 5 & 0,895 & 3,6864\\\\ 6 & 0,980 & 4,0401\\\\ 7 & 1,140 & 4,7089\\\\ 8 & 1,252 & 5,1076\\\\ 9 & 1,342 & 5,5696\\\\ 10 & 1,418 & 5,8081 \end{array}Í
Para a regressão linear precisamos dos somatórios:
\begin{aligned} n &= 10,\\[4pt] \sum L &= 8,907\\ \text{m},\\[4pt] \sum T^{2} &= 37,0321\\ \text{s}^{2},\\[4pt] \sum L^{2} &= 9,458625\\ \text{m}^{2},\\[4pt] \sum L\,T^{2} &= 39,0621344\\ \text{m}\cdot\text{s}^{2}. \end{aligned}]

Passo 4

Fórmulas de mínimos quadrados (reta T^{2}=mL+b):
m=\dfrac{n\sum L\,T^{2} - (\sum L)(\sum T^{2})}{n\sum L^{2} - (\sum L)^{2}}, \qquad b=\dfrac{\sum T^{2} - m\sum L}{n}.
Substituindo os valores numéricos:
\begin{aligned} \text{numerador}_m &= 10\cdot 39{,}0621344 - 8{,}907\cdot 37{,}0321 = 390{,}621344 - 329{,}8449147 = 60{,}7764293,\\[4pt] \text{denominador}_m &= 10\cdot 9{,}458625 - (8{,}907)^{2} = 94{,}58625 - 79{,}334649 = 15{,}251601. \end{aligned}
Logo
m = \dfrac{60{,}7764293}{15{,}251601}\approx 3{,}98492\\ \text{s}^{2}\!/\text{m}.]

Passo 5

Calcular o coeficiente linear b:
b=\dfrac{37{,}0321 - (3{,}98492)(8{,}907)}{10}\approx \dfrac{37{,}0321 - 35{,}49368}{10}\approx 0{,}15384\\ \text{s}^{2}.
Comentário didático: idealmente teoricamente b=0, mas experimentos reais frequentemente apresentam um pequeno desvio (erro sistemático, offset no comprimento efetivo, etc.). Usar m é a forma correta para extrair g.

Passo 6

Extrair g a partir de m. Recordando m = \dfrac{4\pi^{2}}{g}, temos
g = \dfrac{4\pi^{2}}{m}.
Calculemos numericamente ( 4\pi^{2}\approx 39{,}4784176):
g \approx \dfrac{39{,}4784176}{3{,}98492}\approx 9{,}907\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 7

Estimativa da incerteza (didática passo a passo):
  • Primeiro calculei os resíduos r_{i}=T^{2}_{\text{obs},i}-(mL_{i}+b) e a soma dos quadrados dos resíduos SSR. Encontrei
SSR \approx 0{,}0106532\\ (\text{s}^{4}).
  • A variância residual estimada é \hat{\sigma}^{2} = SSR/(n-2) \approx 0{,}00133165\\ (\text{s}^{4}), então \hat{\sigma}\approx 0{,}03650\\ \text{s}^{2}.
  • A variância do coeficiente angular é
\mathrm{Var}(m)=\dfrac{\hat{\sigma}^{2}}{\sum (L_{i}-\bar{L})^{2}}=\dfrac{\hat{\sigma}^{2}}{n\sum L^{2}-(\sum L)^{2}}=\dfrac{0{,}00133165}{15{,}251601}\approx 8{,}729\times 10^{-5}.
Assim o erro padrão de m é
\sigma_{m}\approx 0{,}00935\\ \text{s}^{2}\!/\text{m}.
  • Propagando a incerteza para g usando g=4\pi^{2}/m e \sigma_{g} = \left|\dfrac{\partial g}{\partial m}\right|\sigma_{m} = \dfrac{4\pi^{2}}{m^{2}}\sigma_{m}, obtemos
\sigma_{g}\approx 0{,}023\\ \text{m/s}^{2}.
Portanto o resultado com incerteza experimental é
g = 9{,}907 \pm 0{,}023\\ \text{m/s}^{2}.
Pequena observação final: essa incerteza reflete o ajuste linear aos dados e a dispersão observada; se desejarmos incluir explicitamente as incertezas individuais de L e T (por exemplo o primeiro ponto tinha L e T com incertezas dadas), um ajuste ponderado poderia ser feito e mudaria levemente o valor e a incerteza.

Resposta

g = 9{,}907 \pm 0{,}023\\ \mathrm{m/s^{2}}

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