Para determinar a aceleração da gravidade local fez-se um experimento em que o período de oscilação ( T ) de um pêndulo simples foi medido em função do seu comprimento (L). Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo.
\mathrm{L}(\mathrm{cm}) \mathrm{T}(\mathrm{s})
21,0 \pm 0,2 1,01 \pm 0,01
41,2 1,35
55,0 1,52
70,8 1,72
89,5 1,92
98,0 2,01
114,0 2,17
125,2 2,26
134,2 2,36
141,8 2,41
Que tipo de relação a forma do gráfico sugere para a relação entre as variáveis T e L ? (Do tipo linear ( \mathrm{T}=\mathrm{A}+\mathrm{B} \mathrm{L} ), do tipo potência ( \mathrm{T}=\mathrm{C} \mathrm{L}^{\mathrm{n}} ) ou do tipo exponencial \left(T=C_{0} \exp ^{\mathrm{nt}}\right) )

Passo 1

O enunciado pergunta: “Que tipo de relação a forma do gráfico sugere para a relação entre as variáveis T e L?” — opções dadas: linear \left(T=A+BL\right), potência \left(T=CL^{n}\right) ou exponencial \left(T=C_{0}e^{nL}\right).\n
Dados fornecidos (usei os números da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} L\;(\text{cm}) & T\;(\text{s})\\[2pt] 21{,}0 & 1{,}01\\\\ 41{,}2 & 1{,}35\\\\ 55{,}0 & 1{,}52\\\\ 70{,}8 & 1{,}72\\\\ 89{,}5 & 1{,}92\\\\ 98{,}0 & 2{,}01\\\\ 114{,}0 & 2{,}17\\\\ 125{,}2 & 2{,}26\\\\ 134{,}2 & 2{,}36\\\\ 141{,}8 & 2{,}41 \end{array}
(O enunciado também mostrou um desenho do pêndulo simples, mas os valores que vou usar estão na tabela acima.)]

Passo 2

Estratégia didática para decidir o tipo de relação (sem pressupor que já saiba isso): vou tentar transformar cada hipótese numa forma linear e ver qual delas produz uma relação aproximadamente linear entre duas quantidades simples. Métodos comuns:
  • Se T=A+BL (linear), então uma plotagem direta de T contra L deve dar uma reta.
  • Se T=CL^{n} (potência), então tomar log nos dois lados dá \log T=\log C + n\log L: logo \log T vs \log L deve ser uma reta de declive n. Outra forma prática, se suspeitamos que n=\tfrac12, é testar se T^{2} é proporcional a L (pois (CL^{1/2})^{2}=C^{2}L).
  • Se T=C_{0}e^{nL} (exponencial), então \log T=\log C_{0}+nL: uma plotagem de \log T vs L seria reta.
Vou usar a estratégia que costuma ser mais simples para pêndulos: calcular T^{2} e verificar se T^{2} é aproximadamente proporcional a L. Isso é fácil de checar sem calculadora gráfica e dá uma resposta clara.

Passo 3

Calcular T^{2} para cada medida e depois a razão \dfrac{T^{2}}{L} (uso L em \text{cm} — a proporcionalidade não muda se usar metros, apenas o fator numérico). Faço as contas passo a passo:
Para T=1{,}01:
T^{2}=1{,}01^{2}=1{,}0201,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{1{,}0201}{21{,}0}=0{,}048576
Para T=1{,}35:
T^{2}=1{,}35^{2}=1{,}8225,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{1{,}8225}{41{,}2}=0{,}04422
Para T=1{,}52:
T^{2}=1{,}52^{2}=2{,}3104,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{2{,}3104}{55{,}0}=0{,}042008
Para T=1{,}72:
T^{2}=1{,}72^{2}=2{,}9584,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{2{,}9584}{70{,}8}=0{,}04179
Para T=1{,}92:
T^{2}=1{,}92^{2}=3{,}6864,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{3{,}6864}{89{,}5}=0{,}04118
Para T=2{,}01:
T^{2}=2{,}01^{2}=4{,}0401,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{4{,}0401}{98{,}0}=0{,}04122
Para T=2{,}17:
T^{2}=2{,}17^{2}=4{,}7089,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{4{,}7089}{114{,}0}=0{,}04131
Para T=2{,}26:
T^{2}=2{,}26^{2}=5{,}1076,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{5{,}1076}{125{,}2}=0{,}04080
Para T=2{,}36:
T^{2}=2{,}36^{2}=5{,}5696,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{5{,}5696}{134{,}2}=0{,}04151
Para T=2{,}41:
T^{2}=2{,}41^{2}=5{,}8081,\qquad \frac{T^{2}}{L}=\frac{5{,}8081}{141{,}8}=0{,}04095

Passo 4

Interpretação dos resultados numéricos: as razões \dfrac{T^{2}}{L} calculadas ficaram aproximadamente constantes, variando em torno de 0{,}041 (o primeiro ponto é um pouco maior — comum em medições de comprimentos muito curtos ou devido à incerteza anunciada em L e T). Quando \dfrac{T^{2}}{L} é aproximadamente constante, isso significa que
T^{2}\propto L.
Isto implica que existe uma constante K tal que T^{2}=K\,L. Tirando raiz dos dois lados:
T=\sqrt{K}\;L^{1/2}.
Portanto, T é proporcional a L^{1/2}, ou seja, uma lei de potência com expoente n=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Por que isso descarta as outras hipóteses de forma simples:
  • Se fosse linear T=A+BL, ao calcular \dfrac{T^{2}}{L} não obteríamos valores quase constantes; aqui mostramos que T^{2}/L é aproximadamente constante, o que não é compatível com T sendo linear em L.
  • Se fosse exponencial T=C_{0}e^{nL}, então \log T cresceria linearmente com L e os incrementos de T com L seriam muito mais rápidos (multiplicativos). Os dados mostram um crescimento suave que se ajusta bem à raiz quadrada e não ao crescimento exponencial.

Resposta

Do tipo potência: T=C\,L^{1/2}

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