Para determinar a aceleração da gravidade local fez-se um experimento em que o período de oscilação ( T ) de um pêndulo simples foi medido em função do seu comprimento (L). Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo.
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|---|---|
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| 41,2 | 1,35 |
| 55,0 | 1,52 |
| 70,8 | 1,72 |
| 89,5 | 1,92 |
| 98,0 | 2,01 |
| 114,0 | 2,17 |
| 125,2 | 2,26 |
| 134,2 | 2,36 |
| 141,8 | 2,41 |
Que tipo de relação a forma do gráfico sugere para a relação entre as variáveis T e L ? (Do tipo linear (
), do tipo potência (
) ou do tipo exponencial
)
Passo 1
O enunciado pergunta: “Que tipo de relação a forma do gráfico sugere para a relação entre as variáveis
e
?” — opções dadas: linear
, potência
ou exponencial
.\n
Dados fornecidos (usei os números da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (usei os números da tabela do enunciado):
(O enunciado também mostrou um desenho do pêndulo simples, mas os valores que vou usar estão na tabela acima.)]
Passo 2
Estratégia didática para decidir o tipo de relação (sem pressupor que já saiba isso): vou tentar transformar cada hipótese numa forma linear e ver qual delas produz uma relação aproximadamente linear entre duas quantidades simples. Métodos comuns:
- Se
(linear), então uma plotagem direta de contra deve dar uma reta. - Se
(potência), então tomar log nos dois lados dá : logo vs deve ser uma reta de declive . Outra forma prática, se suspeitamos que , é testar se é proporcional a (pois ). - Se
(exponencial), então : uma plotagem de vs seria reta.
Vou usar a estratégia que costuma ser mais simples para pêndulos: calcular
e verificar se
é aproximadamente proporcional a
. Isso é fácil de checar sem calculadora gráfica e dá uma resposta clara.
Passo 3
Calcular
para cada medida e depois a razão
(uso
em
— a proporcionalidade não muda se usar metros, apenas o fator numérico). Faço as contas passo a passo:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Interpretação dos resultados numéricos: as razões
calculadas ficaram aproximadamente constantes, variando em torno de
(o primeiro ponto é um pouco maior — comum em medições de comprimentos muito curtos ou devido à incerteza anunciada em
e
). Quando
é aproximadamente constante, isso significa que
Isto implica que existe uma constante
tal que
. Tirando raiz dos dois lados:
Portanto,
é proporcional a
, ou seja, uma lei de potência com expoente
.
Passo 5
Por que isso descarta as outras hipóteses de forma simples:
- Se fosse linear
, ao calcular não obteríamos valores quase constantes; aqui mostramos que é aproximadamente constante, o que não é compatível com sendo linear em . - Se fosse exponencial
, então cresceria linearmente com e os incrementos de com seriam muito mais rápidos (multiplicativos). Os dados mostram um crescimento suave que se ajusta bem à raiz quadrada e não ao crescimento exponencial.
Resposta
Do tipo potência: