Para determinar a aceleração da gravidade local fez-se um experimento em que o período de oscilação ( T ) de um pêndulo simples foi medido em função do seu comprimento (L). Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo.
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|---|---|
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| 41,2 | 1,35 |
| 55,0 | 1,52 |
| 70,8 | 1,72 |
| 89,5 | 1,92 |
| 98,0 | 2,01 |
| 114,0 | 2,17 |
| 125,2 | 2,26 |
| 134,2 | 2,36 |
| 141,8 | 2,41 |
Escreva a equação de
que resultou da análise gráfica.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a equação experimental
obtida pela análise gráfica dos dados do pêndulo. Os dados fornecidos na tabela (que eu vou usar) são, com
convertido para metros:
Portanto a pergunta é: qual é a expressão numérica de
em função de
que veio do ajuste gráfico desses dados?]
Passo 2
Teoria e motivo da linearização (aula rápida e prática).
A teoria do pêndulo simples para pequenas oscilações dá a relação
A teoria do pêndulo simples para pequenas oscilações dá a relação
onde
é o período (segundos),
o comprimento (metros) e
a aceleração da gravidade (m/s
). Se elevarmos ao quadrado obtemos uma relação linear em
:
Isso é útil porque ao plotar
versus
obtemos (idealmente) uma reta cuja inclinação é
e cujo intercepto ideal é zero. Na prática pode haver um pequeno intercepto experimental
(por exemplo por erros sistemáticos), então ajustamos
Depois voltamos a escrever
explicitamente como
Passo 3
Como fazer o ajuste linear (fórmulas usadas).
Para uma regressão linear de contra
com
pontos usamos as fórmulas
Para uma regressão linear de
Aqui vamos escolher
(em metros) e
(em s
), porque isso transforma a lei do pêndulo numa reta.
Passo 4
Calcular
para cada ponto e montar as somas (eu fiz as contas passo a passo).
Os valores calculados são:
Os valores
Com esses números calculei as somas necessárias (todas em unidades consistentes:
em m,
em s
):
e o número de pontos é
.]
Passo 5
Calcular a inclinação
e o intercepto
usando as fórmulas da regressão.
Substituindo nas fórmulas:
Substituindo nas fórmulas:
Passo 6
Escrever
como função de
.
Voltando de para
, a equação experimental obtida pelo ajuste é
Voltando de
onde
está em metros e
em segundos. Esta é a forma pedida
resultante da análise gráfica (linearização e ajuste).
Passo 7
Interpretação física rápida (para te animar): da teoria
, então com a inclinação experimental dá-se
o que está bem próximo do valor esperado — isso é um bom sinal de que o ajuste faz sentido.