Para determinar a aceleração da gravidade local fez-se um experimento em que o período de oscilação ( T ) de um pêndulo simples foi medido em função do seu comprimento (L). Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo.
\mathrm{L}(\mathrm{cm}) \mathrm{T}(\mathrm{s})
21,0 \pm 0,2 1,01 \pm 0,01
41,2 1,35
55,0 1,52
70,8 1,72
89,5 1,92
98,0 2,01
114,0 2,17
125,2 2,26
134,2 2,36
141,8 2,41
Escreva a equação de \mathrm{T}=\mathrm{f}(\mathrm{L}) que resultou da análise gráfica.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a equação experimental T=\mathrm{f}(L) obtida pela análise gráfica dos dados do pêndulo. Os dados fornecidos na tabela (que eu vou usar) são, com L convertido para metros:
\begin{array}{ll} L=0{,}210\\ \mathrm{m}, & T=1{,}01\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=0{,}412\\ \mathrm{m}, & T=1{,}35\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=0{,}550\\ \mathrm{m}, & T=1{,}52\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=0{,}708\\ \mathrm{m}, & T=1{,}72\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=0{,}895\\ \mathrm{m}, & T=1{,}92\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=0{,}980\\ \mathrm{m}, & T=2{,}01\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=1{,}140\\ \mathrm{m}, & T=2{,}17\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=1{,}252\\ \mathrm{m}, & T=2{,}26\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=1{,}342\\ \mathrm{m}, & T=2{,}36\\ \mathrm{s},\\[2pt] L=1{,}418\\ \mathrm{m}, & T=2{,}41\\ \mathrm{s}. \end{array}
Portanto a pergunta é: qual é a expressão numérica de T em função de L que veio do ajuste gráfico desses dados?]

Passo 2

Teoria e motivo da linearização (aula rápida e prática).
A teoria do pêndulo simples para pequenas oscilações dá a relação
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde T é o período (segundos), L o comprimento (metros) e g a aceleração da gravidade (m/s ^2). Se elevarmos ao quadrado obtemos uma relação linear em L:
T^2 = \frac{4\pi^2}{g}\,L.
Isso é útil porque ao plotar T^2 versus L obtemos (idealmente) uma reta cuja inclinação é m=\dfrac{4\pi^2}{g} e cujo intercepto ideal é zero. Na prática pode haver um pequeno intercepto experimental b (por exemplo por erros sistemáticos), então ajustamos
T^2 = m\,L + b.
Depois voltamos a escrever T explicitamente como
T(L)=\sqrt{m\,L + b}.

Passo 3

Como fazer o ajuste linear (fórmulas usadas).
Para uma regressão linear de Y contra X com n pontos usamos as fórmulas
m=\frac{n\sum X_iY_i - \left(\sum X_i\right)\left(\sum Y_i\right)}{n\sum X_i^2 - \left(\sum X_i\right)^2},
b=\frac{\sum Y_i - m\sum X_i}{n}.
Aqui vamos escolher X_i=L_i (em metros) e Y_i=T_i^2 (em s ^2), porque isso transforma a lei do pêndulo numa reta.

Passo 4

Calcular T^2 para cada ponto e montar as somas (eu fiz as contas passo a passo).
Os valores T^2 calculados são:
\begin{array}{ll} T^2(0{,}210)=1{,}0201, & T^2(0{,}412)=1{,}8225,\\[2pt] T^2(0{,}550)=2{,}3104, & T^2(0{,}708)=2{,}9584,\\[2pt] T^2(0{,}895)=3{,}6864, & T^2(0{,}980)=4{,}0401,\\[2pt] T^2(1{,}140)=4{,}7089, & T^2(1{,}252)=5{,}1076,\\[2pt] T^2(1{,}342)=5{,}5696, & T^2(1{,}418)=5{,}8081. \end{array}
Com esses números calculei as somas necessárias (todas em unidades consistentes: L em m, T^2 em s ^2):
\sum L_i = 8{,}907\\ \mathrm{m},
\sum T_i^2 = 37{,}0321\\ \mathrm{s}^2,
\sum L_i^2 = 9{,}457825\\ \mathrm{m}^2,
\sum L_i\,T_i^2 = 39{,}0621344\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^2,
e o número de pontos é n=10.]

Passo 5

Calcular a inclinação m e o intercepto b usando as fórmulas da regressão.
Substituindo nas fórmulas:
m=\frac{10\cdot 39{,}0621344 - 8{,}907\cdot 37{,}0321}{10\cdot 9{,}457825 - (8{,}907)^2} =\frac{60{,}7764293}{15{,}243601}\approx 3{,}9870\\ \mathrm{s}^2/\mathrm{m}.
b=\frac{37{,}0321 - 3{,}9870\cdot 8{,}907}{10}\approx 0{,}1520\\ \mathrm{s}^2.

Passo 6

Escrever T como função de L.
Voltando de T^2 para T, a equação experimental obtida pelo ajuste é
T(L)=\sqrt{m\,L + b}=\sqrt{3{,}9870\,L + 0{,}1520},
onde L está em metros e T em segundos. Esta é a forma pedida T=\mathrm{f}(L) resultante da análise gráfica (linearização e ajuste).

Passo 7

Interpretação física rápida (para te animar): da teoria m=4\pi^2/g, então com a inclinação experimental dá-se
g=\frac{4\pi^2}{m}\approx\frac{39{,}4784}{3{,}9870}\approx 9{,}90\\ \mathrm{m/s}^2,
o que está bem próximo do valor esperado — isso é um bom sinal de que o ajuste faz sentido.

Resposta

T(L)=\sqrt{3{,}987\,L + 0{,}152}\quad(\text{com }L\text{ em m e }T\text{ em s})

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