Determinar
de modo que
seja ponto do interior do triângulo definido pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão pede para encontrarmos o valor de
de forma que o ponto
esteja dentro de um triângulo formado pelas retas
,
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre interseção de retas e determinação de pontos dentro de figuras geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas retas se encontram para formar os vértices do triângulo. Isso significa resolver pares de equações para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Vamos resolver as equações
e
:
- Da primeira equação, temos
. - Substituindo na segunda equação:
. - Então,
.
Portanto, um vértice do triângulo é
.
Passo 4
Agora, vamos resolver as equações
e
:
- Da primeira equação,
. - Substituindo na segunda equação:
. - Então,
.
Assim, outro vértice é
.
Passo 5
Por fim, vamos resolver as equações
e
:
- Da primeira equação,
. - Substituindo na segunda equação:
. - Então,
.
Portanto, o terceiro vértice é
.
Passo 6
Agora que temos os três vértices do triângulo
,
e
, precisamos verificar se o ponto
está dentro desse triângulo.
Passo 7
Uma forma de fazer isso é calcular as áreas dos três triângulos formados pelo ponto
com cada par de vértices do triângulo original e verificar se a soma dessas áreas é igual à área do triângulo original. Se for igual, o ponto está dentro do triângulo.
Passo 8
Vamos primeiro calcular a área do triângulo
. A fórmula para a área de um triângulo com vértices
,
e
é:
Aplicando para
,
e
:
Então, a área do triângulo
é 36 unidades quadradas.
Passo 9
Agora, vamos calcular as áreas dos triângulos
,
e
.
Primeiro, para
:
Passo 10
Para
:
Passo 11
Para
:
Passo 12
A soma das áreas
deve ser igual à área total do triângulo
, que é 36. Então:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 13
Agora, vamos resolver essa equação envolvendo valores absolutos. Primeiro, encontramos os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal:
Isso divide a linha dos números em intervalos:
,
,
e
. Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 14
Intervalo 1:
Somando:
Isso significa que qualquer
satisfaz a equação, mas precisamos verificar se essa condição coloca o ponto dentro do triângulo.
Passo 15
Intervalo 2:
Somando:
Novamente, qualquer
nesse intervalo satisfaz a equação.
Passo 16
Intervalo 3:
Somando:
Como
não está no intervalo
, não há solução válida aqui.
Passo 17
Intervalo 4:
Somando:
Mas
, então não está no intervalo
. Nenhuma solução adicional aqui.
Resposta
Para que o ponto
esteja dentro do triângulo definido pelas retas dadas, o valor de
deve satisfazer
.