Determinar o ângulo entre os vetores:
\vec{u}=(2,-1,-1), \vec{v}=(-1,-1,2) \quad Resposta: 120^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(2,-1,-1) e \vec v=(-1,-1,2) e pede o ângulo entre eles. Vamos usar o produto escalar e as normas dos vetores, pois em \mathbb R^3 vale
\cos(\theta)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\;\|\vec v\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec u\cdot\vec v. Pela definição:
\vec u\cdot\vec v =2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot2 =-2+1-2 =-3.

Passo 3

Calcular as normas \|\vec u\| e \|\vec v\|.
\|\vec u\| =\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2} =\sqrt{6},
\|\vec v\| =\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2} =\sqrt{6}.

Passo 4

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos(\theta) =\frac{-3}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} =-\tfrac{3}{6} =-\tfrac12.
Como \operatorname{arccos}(-\tfrac12)=120^\circ, concluímos que \theta=120^\circ.

Resposta

120^\circ

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