Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores \left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right] de mathbb{R}^{2} \operatorname{com} x y \geq 0 (isto é, a união do primeiro e do terceiro quadrantes), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado define
V = \Bigl\{\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2 \mid x\,y\ge0\Bigr\}
com as operações usuais de vetor em \mathbb{R}^2.
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}, V teria que satisfazer todos os axiomas de espaço vetorial, em particular o fecho sob adição e o fecho sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Testamos o fecho sob adição (axioma: para quaisquer u,v\in V, deve valer u+v\in V).
Escolhemos
u = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}.
Em cada caso x\,y = 0\cdot1=0\ge0 e x\,y = 0\cdot(-1)=0\ge0, logo u,v\in V.
Porém
u+v = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
e aí 1\cdot(-1) = -1 < 0, logo u+v\notin V.

Passo 3

Testamos o fecho sob multiplicação por escalar (axioma: para todo c\in\mathbb{R} e v\in V, c\,v\in V).
Se v=(x,y) satisfaz xy\ge0, então
(c\,x)\,(c\,y) = c^2\,(x\,y)\ge0
para todo c\in\mathbb{R}. Assim esse axioma é satisfeito.

Passo 4

Concluímos que o único axioma que não vale é o de fecho sob adição. Como esse é indispensável, V não é espaço vetorial.

Resposta

O conjunto não é espaço vetorial, pois falha o axioma de fechamento sob adição: existem u,v\in V tais que u+v\notin V.

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