Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores
de
(isto é, a união do primeiro e do terceiro quadrantes), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.
O conjunto de todos os vetores
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de vetor em
.
Para ser espaço vetorial sobre ,
teria que satisfazer todos os axiomas de espaço vetorial, em particular o fecho sob adição e o fecho sob multiplicação por escalar.
Para ser espaço vetorial sobre
Passo 2
Testamos o fecho sob adição (axioma: para quaisquer
, deve valer
).
Escolhemos
Escolhemos
Em cada caso
e
, logo
.
Porém
Porém
e aí
, logo
.
Passo 3
Testamos o fecho sob multiplicação por escalar (axioma: para todo
e
,
).
Se satisfaz
, então
Se
para todo
. Assim esse axioma é satisfeito.
Passo 4
Concluímos que o único axioma que não vale é o de fecho sob adição. Como esse é indispensável,
não é espaço vetorial.
Resposta
O conjunto não é espaço vetorial, pois falha o axioma de fechamento sob adição: existem
tais que
.