Determinar a área limitada pela curva normal em cada um dos casos abaixo:
entre \mathrm{z}=-2,56 e \mathrm{z}=+2,56

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva normal padrão limitada entre os valores z=-2,56 e z=+2,56.
Informações dadas:
  • Limites da região: z=-2,56 e z=+2,56.
  • Quer-se a área (probabilidade) sob a curva normal padrão entre esses dois z.

Passo 2

O que significa “área sob a curva normal padrão”?
  • A função densidade da normal padrão é
\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2},
onde z é a variável padrão (média 0 e variância 1).
  • A função distribuição acumulada (CDF) é
\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\varphi(t)\,dt,
que dá a probabilidade de a variável Z ser menor ou igual a z.
A área entre dois pontos a e b é
P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a).

Passo 3

Use a simetria da normal padrão. Para qualquer z\ge0 vale
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Portanto, a área entre -z e +z é
P(-z\le Z\le z)=\Phi(z)-\Phi(-z)=\Phi(z)-(1-\Phi(z))=2\Phi(z)-1.
No nosso caso z=2,56, então a área procurada é
P(-2,56\le Z\le 2,56)=2\Phi(2,56)-1.

Passo 4

Agora precisamos do valor de \Phi(2,56). Esse valor é obtido em tabela da normal padrão ou em calculadora estatística. A tabela convencional dá
\Phi(2,56)=0,9948.
(Observação: calculadoras mais precisas podem dar um valor muito próximo, por exemplo 0,9949 ou 0,9950; aqui usaremos o valor da tabela 0,9948.)

Passo 5

Calcule a área usando o valor da tabela:
P(-2,56\le Z\le 2,56)=2\cdot0,9948-1=1,9896-1=0,9896.
Interpretação rápida: isso significa que aproximadamente 98,96\% da distribuição normal padrão está contida no intervalo [-2,56,\,2,56]. Isso faz sentido: é bem ampla e cobre quase toda a distribuição.

Resposta

0,9896

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