Admitindo que cada criança tenha 51 \% de probabilidade de ser menino. Determine a probabilidade de uma família de 4 filhos ter:
(a) exatamente um menino; \mathbf{R : 2 4 \%}
(b) ao menos um menino. \mathbf{R : 9 4 , 2 4 \%}

Passo 1

O enunciado pede duas probabilidades para uma família com 4 filhos, sabendo que cada criança tem 51\% de chance de ser menino. Especificamente:
  • (a) a probabilidade de ter exatamente um menino;
  • (b) a probabilidade de ter ao menos um menino.
Informações dadas:
  • Probabilidade de menino: p=0,51.
  • Probabilidade de menina: q=1-p=0,49.
  • Número de filhos (testes): n=4.
  • As ocorrências dos sexos dos filhos são assumidas independentes.

Passo 2

Modelo probabilístico e ideia geral (sem fórmulas ainda).
Quando temos um número fixo n de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades (menino ou menina) e probabilidade constante p de “sucesso” (aqui sucesso = menino), o número de sucessos X segue a distribuição binomial. Então a probabilidade de ocorrer exatamente k meninos (sucessos) é dada por uma fórmula que combina contagem (quantas sequências têm k meninos) e as probabilidades de cada sequência.

Passo 3

Apresentando a fórmula binomial e explicando cada símbolo.
A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}.
Onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k posições entre n são meninos);
  • p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (aqui p=0,51);
  • q é a probabilidade de insucesso em uma tentativa (aqui q=0,49);
  • p^{k} q^{\,n-k} é a probabilidade de uma sequência específica com k meninos e n-k meninas.
    Vou aplicar essa fórmula para (a) e, para (b), usar uma técnica muito prática: calcular o complementar “zero meninos” e subtrair de 1.

Passo 4

Cálculo detalhado de (a) — exatamente um menino ( k=1, n=4).
Usando a fórmula:
P(X=1)=\binom{4}{1} p^{1} q^{3}.
Calcule cada parte:
\binom{4}{1}=4.
Agora as potências de q:
q^{2}=0,49^{2}=0,2401,
q^{3}=0,49^{3}=0,2401\times0,49=0,117649.
Multiplicando por p=0,51:
p\cdot q^{3}=0,51\times0,117649=0,06000099.
Finalmente, multiplicar pelo coeficiente:
P(X=1)=4\times0,06000099=0,24000396.
Convertendo para porcentagem:
P(X=1)=0,24000396\approx0,24=24,00\%.
(Arredondei aqui para duas casas decimais: 24,00\%.)

Passo 5

Cálculo detalhado de (b) — ao menos um menino.
“Ao menos um menino” é o complementar de “nenhum menino”. Portanto:
P(\text{ao menos um menino})=1-P(X=0).
Calcule P(X=0) usando a fórmula binomial com k=0:
P(X=0)=\binom{4}{0} p^{0} q^{4}=1\times1\times q^{4}=q^{4}.
Já temos q^{2}=0,2401, então:
q^{4}=(q^{2})^{2}=0,2401^{2}=0,05764801.
Então
P(\text{ao menos um menino})=1-0,05764801=0,94235199.
Convertendo para porcentagem e arredondando para duas casas decimais:
P(\text{ao menos um menino})\approx94,24\%.

Passo 6

Pequena interpretação e motivação final (rápida).
  • Para (a) a probabilidade deu aproximadamente 24,00\%. Isso faz sentido: como a chance de menino é próxima de 1/2, a probabilidade de exatamente um menino em 4 filhos fica perto da probabilidade binomial simétrica para p=1/2 (que seria 4\times(1/2)^4=4/16=25\%), mas aqui, por p=0,51, ficou muito ligeiramente menor que 25\%.
  • Para (b) ficou alta: cerca de 94,24\%, porque só é raro ter zero meninos quando cada filho tem 51\% de chance de ser menino.

Resposta

(a) 24,00\%
(b) 94,24\%

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