Admitindo que cada criança tenha
de probabilidade de ser menino. Determine a probabilidade de uma família de 4 filhos ter:
(a) exatamente um menino;
(b) ao menos um menino.
(a) exatamente um menino;
(b) ao menos um menino.
Passo 1
O enunciado pede duas probabilidades para uma família com 4 filhos, sabendo que cada criança tem
de chance de ser menino. Especificamente:
- (a) a probabilidade de ter exatamente um menino;
- (b) a probabilidade de ter ao menos um menino.
Informações dadas:
- Probabilidade de menino:
. - Probabilidade de menina:
. - Número de filhos (testes):
. - As ocorrências dos sexos dos filhos são assumidas independentes.
Passo 2
Modelo probabilístico e ideia geral (sem fórmulas ainda).
Quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades (menino ou menina) e probabilidade constante
de “sucesso” (aqui sucesso = menino), o número de sucessos
segue a distribuição binomial. Então a probabilidade de ocorrer exatamente
meninos (sucessos) é dada por uma fórmula que combina contagem (quantas sequências têm
meninos) e as probabilidades de cada sequência.
Quando temos um número fixo
Passo 3
Apresentando a fórmula binomial e explicando cada símbolo.
A fórmula para a probabilidade de exatamente sucessos em
tentativas é
A fórmula para a probabilidade de exatamente
Onde:
-
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais posições entre são meninos); -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (aqui ); -
é a probabilidade de insucesso em uma tentativa (aqui ); -
é a probabilidade de uma sequência específica com meninos e meninas.
Vou aplicar essa fórmula para (a) e, para (b), usar uma técnica muito prática: calcular o complementar “zero meninos” e subtrair de 1.
Passo 4
Cálculo detalhado de (a) — exatamente um menino (
,
).
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Calcule cada parte:
Agora as potências de
:
Multiplicando por
:
Finalmente, multiplicar pelo coeficiente:
Convertendo para porcentagem:
(Arredondei aqui para duas casas decimais:
.)
Passo 5
Cálculo detalhado de (b) — ao menos um menino.
“Ao menos um menino” é o complementar de “nenhum menino”. Portanto:
“Ao menos um menino” é o complementar de “nenhum menino”. Portanto:
Calcule
usando a fórmula binomial com
:
Já temos
, então:
Então
Convertendo para porcentagem e arredondando para duas casas decimais:
Passo 6
Pequena interpretação e motivação final (rápida).
- Para (a) a probabilidade deu aproximadamente
. Isso faz sentido: como a chance de menino é próxima de , a probabilidade de exatamente um menino em 4 filhos fica perto da probabilidade binomial simétrica para (que seria ), mas aqui, por , ficou muito ligeiramente menor que . - Para (b) ficou alta: cerca de
, porque só é raro ter zero meninos quando cada filho tem de chance de ser menino.
Resposta
(a)
(b)
(b)