Determinar a área da região limitada pelas curvas paramétricas dadas.
entre
e
entre
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada entre duas curvas dadas por parametrizações. As informações dadas são:
- Primeira curva:
, com variando em algum intervalo que percorre a curva fechada (normalmente ). - Segunda curva:
, com (a circunferência de raio 1). - Pede-se a área da região compreendida entre essas duas curvas (a área interior à curva astroidal dada pela primeira parametrização e a área do círculo da segunda parametrização).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada passo a passo): calcular separadamente a área encerrada por cada curva e subtrair a área menor da maior. Isso funciona porque ambas são curvas fechadas simples, a região pedida é exatamente a diferença das áreas internas. A fórmula prática que usaremos para a área encerrada por uma curva parametrizada
, com
de
a
, é a fórmula de Green/paramétrica:
Breve explicação dessa fórmula: ela vem do Teorema de Green aplicada à expressão
; ao parametrizar a curva isso se transforma na integral acima. A variável
é o parâmetro da curva e
são as derivadas em relação a
. Vamos aplicar essa fórmula às duas curvas e subtrair.
Passo 3
Área da circunferência unitária (segunda curva).
A área é bem conhecida: para a circunferência de raio
temos
(poderíamos também aplicar diretamente a fórmula paramétrica usando
e
, obtendo o mesmo resultado.)
Passo 4
Área da curva
(a astroidal).
Primeiro calculamos as derivadas:
Agora montamos o integrando
:
Vamos simplificar passo a passo:
porque
.
Portanto a área encerrada por essa curva, aplicando a fórmula com
de
a
, é
Passo 5
Calcular a integral
.
Usamos a identidade de ângulo duplo:
Logo
Substituindo na integral:
Outra identidade útil:
Assim
Agora integramos term a term:
Portanto
Passo 6
Área da região entre as duas curvas = área da astroida menos área do círculo: