Determinar a área da região limitada pelas curvas paramétricas dadas.
entre \left\{\begin{array}{l}x=2 \cos ^{3} t \\\ y=2 \operatorname{sen}^{3} t\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\\ y=\operatorname{sen} t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada entre duas curvas dadas por parametrizações. As informações dadas são:
  • Primeira curva: \displaystyle x=2\cos^{3}t,\; y=2\sin^{3}t, com t variando em algum intervalo que percorre a curva fechada (normalmente 0\le t\le 2\pi).
  • Segunda curva: \displaystyle x=\cos t,\; y=\sin t, com 0\le t\le 2\pi (a circunferência de raio 1).
  • Pede-se a área da região compreendida entre essas duas curvas (a área interior à curva astroidal dada pela primeira parametrização e a área do círculo da segunda parametrização).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada passo a passo): calcular separadamente a área encerrada por cada curva e subtrair a área menor da maior. Isso funciona porque ambas são curvas fechadas simples, a região pedida é exatamente a diferença das áreas internas. A fórmula prática que usaremos para a área encerrada por uma curva parametrizada (x(t),y(t)), com t de a a b, é a fórmula de Green/paramétrica:
A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\bigl(x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)\bigr)\,dt.
Breve explicação dessa fórmula: ela vem do Teorema de Green aplicada à expressão \frac12\oint (x\,dy-y\,dx); ao parametrizar a curva isso se transforma na integral acima. A variável t é o parâmetro da curva e x'(t),y'(t) são as derivadas em relação a t. Vamos aplicar essa fórmula às duas curvas e subtrair.

Passo 3

Área da circunferência unitária (segunda curva).
A área é bem conhecida: para a circunferência de raio 1 temos
\text{Área do círculo}=\pi\cdot 1^{2}=\pi.Áí
(poderíamos também aplicar diretamente a fórmula paramétrica usando x=\cos t,\; y=\sin t e t\in[0,2\pi], obtendo o mesmo resultado.)

Passo 4

Área da curva \displaystyle x=2\cos^{3}t,\; y=2\sin^{3}t (a astroidal).
Primeiro calculamos as derivadas:
x(t)=2\cos^{3}t\quad\Rightarrow\quad x'(t)=2\cdot 3\cos^{2}t\cdot(-\sin t)=-6\cos^{2}t\sin t,
y(t)=2\sin^{3}t\quad\Rightarrow\quad y'(t)=2\cdot 3\sin^{2}t\cdot\cos t=6\sin^{2}t\cos t.
Agora montamos o integrando x y' - y x':
x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t) = \bigl(2\cos^{3}t\bigr)\bigl(6\sin^{2}t\cos t\bigr)-\bigl(2\sin^{3}t\bigr)\bigl(-6\cos^{2}t\sin t\bigr).
Vamos simplificar passo a passo:
\begin{aligned} x y' - y x' &= 12\cos^{4}t\sin^{2}t + 12\sin^{4}t\cos^{2}t\\\ &=12\cos^{2}t\sin^{2}t\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)\\\ &=12\cos^{2}t\sin^{2}t, \end{aligned}
porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Portanto a área encerrada por essa curva, aplicando a fórmula com t de 0 a 2\pi, é
A_{\text{astroid}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 12\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt =6\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt.

Passo 5

Calcular a integral 6\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt.
Usamos a identidade de ângulo duplo:
\sin(2t)=2\sin t\cos t\quad\Rightarrow\quad \sin^{2}2t=4\sin^{2}t\cos^{2}t.
Logo
\cos^{2}t\sin^{2}t=\frac{1}{4}\sin^{2}2t.
Substituindo na integral:
A_{\text{astroid}}=6\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\sin^{2}2t\,dt=\frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}2t\,dt.
Outra identidade útil:
\sin^{2}2t=\frac{1-\cos 4t}{2}.
Assim
A_{\text{astroid}}=\frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 4t}{2}\,dt=\frac{3}{4}\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-\cos 4t\bigr)\,dt.
Agora integramos term a term:
\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_{0}^{2\pi}\cos 4t\,dt=\left.\frac{\sin 4t}{4}\right|_{0}^{2\pi}=0.
Portanto
A_{\text{astroid}}=\frac{3}{4}\cdot 2\pi=\frac{3\pi}{2}.

Passo 6

Área da região entre as duas curvas = área da astroida menos área do círculo:
A_{\text{entre}}=A_{\text{astroid}}-A_{\text{círculo}}=\frac{3\pi}{2}-\pi=\frac{\pi}{2}.í

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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