Questão 4. Resolva o sistema de EDO a seguir:
\left\{\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=-y_{1} \\\ y_{2}^{\prime}=2 y_{1}+y_{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais ordinárias
\left\{\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=-y_{1},\\[4pt] y_{2}^{\prime}=2y_{1}+y_{2}, \end{array}\right.
onde y_{1}=y_{1}(t) e y_{2}=y_{2}(t) são funções de t e a notação y_i' significa a derivada de y_i em relação a t.
O que se pede: encontrar a solução geral do sistema (ou seja, as expressões de y_{1}(t) e y_{2}(t) contendo constantes de integração).]

Passo 2

Resolveremos a primeira equação isoladamente porque ela não depende de y_{2}. A equação é
y_{1}'=-y_{1}.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante (ou ainda uma equação separável). Vou usar o método de separação: escrevemos
\frac{dy_{1}}{dt}=-y_{1}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy_{1}}{y_{1}}=-dt.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{dy_{1}}{y_{1}}=\int -dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|y_{1}|=-t+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
y_{1}(t)=C_{1}e^{-t},
onde C_{1} é uma constante arbitrária real. (Esse C_{1} representa a amplitude inicial de y_{1}.)

Passo 3

Agora usamos o resultado de y_{1}(t) na segunda equação. A segunda equação é
y_{2}'=2y_{1}+y_{2}.
Substituindo y_{1}(t)=C_{1}e^{-t} obtemos uma equação linear não homogênea para y_{2}:
y_{2}'-y_{2}=2C_{1}e^{-t}.

Passo 4

Vou explicar o método que uso para resolver essa equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
y'+p(t)y=q(t).
Para essa forma, a fator integrante (integrating factor) é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Multiplicando a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo em a derivada de \mu(t)y, o que facilita integrar.
No nosso caso, escrevemos a equação como
y_{2}'+(-1)\,y_{2}=2C_{1}e^{-t},
logo p(t)=-1 e q(t)=2C_{1}e^{-t}. Assim o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.
Multiplicando a equação por \mu(t)=e^{-t} temos
e^{-t}y_{2}'-e^{-t}y_{2}=(e^{-t}y_{2})' = 2C_{1}e^{-t}\cdot e^{-t}=2C_{1}e^{-2t}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em t:
\int (e^{-t}y_{2})'\,dt = \int 2C_{1}e^{-2t}\,dt.
O lado esquerdo dá e^{-t}y_{2}. Para o lado direito, integramos exponencial:
\int 2C_{1}e^{-2t}\,dt = 2C_{1}\cdot\left(-\frac{1}{2}e^{-2t}\right)+C_{2} = -C_{1}e^{-2t}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Assim
e^{-t}y_{2} = -C_{1}e^{-2t}+C_{2}.
Multiplicando por e^{t} para isolar y_{2},
y_{2}(t) = -C_{1}e^{-t} + C_{2}e^{t}.

Passo 6

Temos agora as soluções encontradas para y_{1} e y_{2}. Para garantir que está correto, uma verificação rápida: calcule y_{1}' e y_{2}' e veja se satisfazem o sistema.
Calculando:
y_{1}'(t) = -C_{1}e^{-t} = -y_{1}(t),
ok. E
y_{2}'(t) = C_{2}e^{t} + C_{1}e^{-t}.
Por outro lado,
2y_{1}+y_{2}=2(C_{1}e^{-t}) + \big(C_{2}e^{t}-C_{1}e^{-t}\big) = C_{2}e^{t}+C_{1}e^{-t},
que coincide com y_{2}'. Portanto a solução está consistente.

Resposta

y_{1}(t)=C_{1}e^{-t}
y_{2}(t)= -C_{1}e^{-t} + C_{2}e^{t}

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