Questão 4. Resolva o sistema de EDO a seguir:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais ordinárias
onde
e
são funções de
e a notação
significa a derivada de
em relação a
.
O que se pede: encontrar a solução geral do sistema (ou seja, as expressões de e
contendo constantes de integração).]
O que se pede: encontrar a solução geral do sistema (ou seja, as expressões de
Passo 2
Resolveremos a primeira equação isoladamente porque ela não depende de
. A equação é
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante (ou ainda uma equação separável). Vou usar o método de separação: escrevemos
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde
é uma constante arbitrária real. (Esse
representa a amplitude inicial de
.)
Passo 3
Agora usamos o resultado de
na segunda equação. A segunda equação é
Substituindo
obtemos uma equação linear não homogênea para
:
Passo 4
Vou explicar o método que uso para resolver essa equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
Para essa forma, a fator integrante (integrating factor) é
Multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo em a derivada de
, o que facilita integrar.
No nosso caso, escrevemos a equação como
logo
e
. Assim o fator integrante é
Multiplicando a equação por
temos
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em
:
O lado esquerdo dá
. Para o lado direito, integramos exponencial:
onde
é outra constante de integração. Assim
Multiplicando por
para isolar
,
Passo 6
Temos agora as soluções encontradas para
e
. Para garantir que está correto, uma verificação rápida: calcule
e
e veja se satisfazem o sistema.
Calculando:
Calculando:
ok. E
Por outro lado,
que coincide com
. Portanto a solução está consistente.