Determinar a área da região limitada pelas curvas paramétricas dadas.
entre \left\{\begin{array}{l}x=4 \cos t \\\ y=2 \operatorname{sen} t\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\\ y=\operatorname{sen} t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas duas curvas paramétricas
\begin{cases} x=4\cos t\\[4pt] y=2\sin t \end{cases}
e
\begin{cases} x=\cos t\\[4pt] y=\sin t \end{cases}
Para cada curva o parâmetro t varia naturalmente em [0,2\pi]. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A primeira curva é parametrizada por t\mapsto(4\cos t,\,2\sin t).
  • A segunda curva é parametrizada por t\mapsto(\cos t,\,\sin t).
  • Ambas são curvas fechadas e simples (não se cruzam consigo mesmas) e estão centradas na origem.
    A pergunta é: qual é a área da região que fica entre essas duas curvas?]

Passo 2

Vou escolher um método: calcular a área de cada região interior a cada curva e subtrair (área da região entre = área externa − área interna). Justifico: as duas curvas são elipse e círculo centrados na origem, a elipse claramente “envolve” o círculo para todos os ângulos t (verificação rápida no Passo 4), então a área entre elas é simplesmente a diferença das áreas interiores. Além disso mostro como calcular cada área usando a fórmula paramétrica de área, que é um método direto e que dá a conta sem lembrar fórmulas prontas.

Passo 3

Fórmula de área para curva paramétrica: se uma curva fechada e simples é dada por x=x(t), y=y(t) para t\in[a,b] (com (x(a),y(a))=(x(b),y(b))), a área orientada A do domínio interior é
A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\bigl(x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)\bigr)\,dt.
Explicando devagar: x'(t) é a derivada de x em relação a t, y'(t) é a derivada de y. A expressão x\,dy - y\,dx aparece porque, via o Teorema de Green (ou por decomposição em triângulos infinitesimais), ela mede a área percorrida pela curva orientada. Na prática, para curvas tipo elipse e círculo esse integral costuma simplificar muito. Vamos aplicar isso a cada curva com a=0 e b=2\pi.

Passo 4

Área interior da elipse dada por \;x=4\cos t,\;y=2\sin t\;.
Calcule as derivadas:
x'(t) = \frac{d}{dt}(4\cos t) = -4\sin t, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(2\sin t)=2\cos t.
O integrando é
x(t)y'(t)-y(t)x'(t)=(4\cos t)(2\cos t)-(2\sin t)(-4\sin t).
Simplificando:
(4\cos t)(2\cos t)=8\cos^2 t, \qquad -(2\sin t)(-4\sin t)=+8\sin^2 t,
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x(t)y'(t)-y(t)x'(t)=8\cos^2 t + 8\sin^2 t = 8(\cos^2 t+\sin^2 t)=8.
Portanto a integral é simples:
A_{\text{elipse}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}8\,dt=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot (2\pi)=8\pi.
Comentário didático: aqui apareceu \cos^2+\sin^2=1, e o integrando ficou constante igual a 8, então a área é 8 vezes o comprimento do intervalo dividido por 2, dando 8\pi. Isso coincide com a fórmula padrão da área da elipse \pi ab com a=4, b=2: \pi\cdot 4\cdot 2=8\pi.

Passo 5

Breve verificação geométrica (útil na prova para ganhar confiança): da parametrização podemos eliminar t e obter a equação cartesiana da elipse. Temos \cos t = x/4 e \sin t = y/2, então
\left(\frac{x}{4}\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1,
isto é
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1,
uma elipse com semi-eixos a=4 (no eixo x) e b=2 (no eixo y), cuja área é \pi ab=8\pi. Isso confirma o cálculo do passo anterior.

Passo 6

Área interior do círculo dado por \;x=\cos t,\;y=\sin t\;.
Derivadas:
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
O integrando:
x(t)y'(t)-y(t)x'(t)=(\cos t)(\cos t)-(\sin t)(-\,\sin t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Então
A_{\text{círculo}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,dt=\frac{1}{2}\cdot (2\pi)=\pi.í
Comentário: também conhecida pela fórmula da área do círculo \pi r^2 com r=1, ou seja \pi, consistente com o integral.

Passo 7

Área da região entre as curvas = área da elipse − área do círculo.
A = A_{\text{elipse}}-A_{\text{círculo}} = 8\pi - \pi = 7\pi.í
Interpretação: a elipse envolve totalmente o círculo, então a região entre elas é o anel elíptico cujo tamanho é a diferença das áreas.

Resposta

7\pi

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