Determinar a área da região limitada pelas curvas paramétricas dadas.
entre
e
entre
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas duas curvas paramétricas
e
Para cada curva o parâmetro
varia naturalmente em
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A primeira curva é parametrizada por
. - A segunda curva é parametrizada por
. - Ambas são curvas fechadas e simples (não se cruzam consigo mesmas) e estão centradas na origem.
A pergunta é: qual é a área da região que fica entre essas duas curvas?]
Passo 2
Vou escolher um método: calcular a área de cada região interior a cada curva e subtrair (área da região entre = área externa − área interna). Justifico: as duas curvas são elipse e círculo centrados na origem, a elipse claramente “envolve” o círculo para todos os ângulos
(verificação rápida no Passo 4), então a área entre elas é simplesmente a diferença das áreas interiores. Além disso mostro como calcular cada área usando a fórmula paramétrica de área, que é um método direto e que dá a conta sem lembrar fórmulas prontas.
Passo 3
Fórmula de área para curva paramétrica: se uma curva fechada e simples é dada por
,
para
(com
), a área orientada
do domínio interior é
Explicando devagar:
é a derivada de
em relação a
,
é a derivada de
. A expressão
aparece porque, via o Teorema de Green (ou por decomposição em triângulos infinitesimais), ela mede a área percorrida pela curva orientada. Na prática, para curvas tipo elipse e círculo esse integral costuma simplificar muito. Vamos aplicar isso a cada curva com
e
.
Passo 4
Área interior da elipse dada por
.
Calcule as derivadas:
O integrando é
Simplificando:
logo
Portanto a integral é simples:
Comentário didático: aqui apareceu
, e o integrando ficou constante igual a
, então a área é
vezes o comprimento do intervalo dividido por
, dando
. Isso coincide com a fórmula padrão da área da elipse
com
,
:
.
Passo 5
Breve verificação geométrica (útil na prova para ganhar confiança): da parametrização podemos eliminar
e obter a equação cartesiana da elipse. Temos
e
, então
isto é
uma elipse com semi-eixos
(no eixo
) e
(no eixo
), cuja área é
. Isso confirma o cálculo do passo anterior.
Passo 6
Área interior do círculo dado por
.
Derivadas:
O integrando:
Então
Comentário: também conhecida pela fórmula da área do círculo
com
, ou seja
, consistente com o integral.
Passo 7
Área da região entre as curvas = área da elipse − área do círculo.
Interpretação: a elipse envolve totalmente o círculo, então a região entre elas é o anel elíptico cujo tamanho é a diferença das áreas.