Determinar a área de um trocador de calor necessário para aquecer uma corrente de isopropanol com vazão de 10000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de 30^{\circ} \mathrm{C} até 80^{\circ} \mathrm{C}, utilizando uma corrente de óleo térmico (Therminol 66) a 150^{\circ} \mathrm{C} com vazão de 20000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. A corrente de isopropanol deverá escoar no interior dos tubos a uma velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O coeficiente de convecção da corrente de óleo térmico pode ser considerado igual a 2000 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Os fatores de sujeira para a corrente de isopropanol e de óleo térmico são iguais a 0,0002 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W}. O trocador deve ser construído com tubos de aço carbono (condutividade térmica: 50 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) )) com diâmetro de 3 / 4 in BWG 16 (diâmetro externo: 19,05 mm e espessura: 1,65 mm) organizados ao longo de dois passes nos tubos e um passe no casco.
Table 1: Propriedades fisicas:
\captionsetup{labelformat=empty}
Propriedade Isopropanol Therminol Ar
Vapor
saturado a
280^{\circ} \mathrm{C}
Massa especifica \left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) 732 941 1,1 34,1
Capacidade térmica (\mathrm{J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})) 3370 1908 1008 4824
Viscosidade (\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s}) 0,50 \cdot 10^{-3} 2,42 \cdot 10^{-3} 200 \cdot 10^{-7} 18,9 \cdot 10^{-6}
Condutividade térmica (\mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) 0,13 0,11 0,029 0,061

Passo 1

O enunciado pede determinar a área de troca térmica necessária de um trocador casco-e-tubos para aquecer isopropanol com as seguintes informações (vou listar tudo que vem no enunciado, valores que vou usar e o que preciso calcular):
  • Dados do escoamento de isopropanol (fluido frio, vai pelos tubos):
    • Vazão mássica: \dot{m}_c = 10000\\ \mathrm{kg/h}.
    • Temperaturas: entrada T_{c,i}=30^\circ\mathrm{C}, saída desejada T_{c,o}=80^\circ\mathrm{C}.
    • Propriedades (pega-se da tabela fornecida):
      • Densidade \rho_c = 732\\ \mathrm{kg/m^3}.
      • Capacidade térmica c_{p,c} = 3370\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
      • Viscosidade \mu_c = 0{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
      • Condutividade térmica k_c = 0{,}13\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Velocidade dentro dos tubos: v=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Dados do óleo térmico (Therminol 66, fluido quente, casco):
    • Vazão mássica: \dot{m}_h = 20000\\ \mathrm{kg/h}.
    • Temperatura de entrada: T_{h,i}=150^\circ\mathrm{C}.
    • Propriedades (da tabela):
      • c_{p,h} = 1908\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
      • k_h = 0{,}11\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
      • viscosidade \mu_h = 2{,}42\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Coeficiente de convecção do óleo (fornecido): h_o = 2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Dados do trocador / tubos:
    • Tubo aço carbono: condutividade k_{t}=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Tubos 3/4 in BWG 16: diâmetro externo d_o = 19{,}05\\ \mathrm{mm}=0{,}01905\\ \mathrm{m}, espessura t=1{,}65\\ \mathrm{mm}=0{,}00165\\ \mathrm{m}. Logo diâmetro interno d_i = d_o - 2t.
    • Organização: dois passes nos tubos (tubo-lado) e um passe no casco (casco-lado).
    • Fatores de sujeira (fouling) iguais para ambos os lados: R_{f,i}=R_{f,o}=0{,}0002\\ \mathrm{m^2 K/W}.
  • O que é pedido:
    • Determinar a área de troca térmica necessária A (e, para completar e tornar a solução prática, vou também calcular o número de tubos necessários e o comprimento de cada tubo, usando a velocidade dada).
Observação: o enunciado não dá explicitamente um fator de correção de LMTD para a configuração 1-shell/2-tube-passes. Vou fazer a aproximação usual interpretando a disposição como efetivamente contracorrente para fins de cálculo do LMTD (ou seja, usar F\approx1). Se fosse exigido com precisão industrial, usar-se-ia o fator de correção F (função de R e P); aqui isso não foi fornecido, então assumo F=1.

Passo 2

Converto vazões para unidades consistentes (kg/s) e calculo diâmetro interno do tubo:
  • Vazões em \mathrm{kg/s}:
\dot{m}_c=\frac{10000}{3600}=2{,}7777778\\ \mathrm{kg/s}, \qquad \dot{m}_h=\frac{20000}{3600}=5{,}5555556\\ \mathrm{kg/s}.
  • Diâmetro interno dos tubos:
d_i = d_o - 2t = 0{,}01905 - 2\cdot 0{,}00165 = 0{,}01575\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calculo o fluxo volumétrico do isopropanol e o número de tubos necessários para garantir v=2\\ \mathrm{m/s} no interior dos tubos.
  • Fluxo volumétrico total do isopropanol:
Q_c = \frac{\dot{m}_c}{\rho_c} = \frac{2{,}7777778}{732} = 0{,}0037929\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área de seção interna de um tubo:
A_{i,\mathrm{tubo}} = \frac{\pi d_i^2}{4} = \frac{\pi (0{,}01575)^2}{4} \approx 0{,}0001947\\ \mathrm{m^2}.
  • Para dois passes nos tubos, o fluxo total é dividido entre passes, mas a expressão para a velocidade média em cada tubo, levando em conta divisão igual, leva à fórmula simples (ver explicação abaixo) usada para o número total de tubos N_t:
v = \frac{Q_c}{N_t A_{i,\mathrm{tubo}}} \quad\Rightarrow\quad N_t = \frac{Q_c}{v A_{i,\mathrm{tubo}}}.
(Explicação curta: com N_t tubos e dois passes igualmente divididos, cada pass recebe Q_c/2 e possui N_t/2 tubos; a velocidade em um tubo fica \frac{Q_c/2}{(N_t/2)A_i}=\frac{Q_c}{N_t A_i}.)
  • Calculo:
N_t = \frac{0{,}0037929}{2\cdot 0{,}0001947} \approx 9{,}74.
Como só existem números inteiros de tubos, arredondo para cima: N_t = 10 tubos.
Comentário encorajador: ótimo — com a velocidade fixa de 2\\ \mathrm{m/s} precisamos de 10 tubos; agora vamos ver quanto comprimento cada tubo precisa ter para atingir a área requerida.

Passo 4

Calculo da potência térmica necessária (taxa de calor) para aquecer o isopropanol — isto é a carga térmica Q.
  • Variação de temperatura do isopropanol:
\Delta T_c = T_{c,o} - T_{c,i} = 80 - 30 = 50\\ \mathrm{K}.
  • Potência de aquecimento necessária:
Q = \dot{m}_c c_{p,c} \Delta T_c = 2{,}7777778\cdot 3370 \cdot 50 \approx 468055{,}6\\ \mathrm{W}.
Vou usar Q \approx 468{,}06\\ \mathrm{kW} nos passos seguintes.

Passo 5

Determinar a temperatura de saída do óleo (fluido quente), usando balanço energético (pressupondo que todo calor entregue ao isopropanol sai do óleo):
  • Variação de temperatura do óleo:
\Delta T_h = \frac{Q}{\dot{m}_h c_{p,h}} = \frac{468055{,}6}{5{,}5555556\cdot 1908} \approx 44{,}19\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura de saída do óleo:
T_{h,o} = T_{h,i} - \Delta T_h = 150 - 44{,}19 \approx 105{,}81^\circ\mathrm{C}.
Observação amistosa: o óleo ainda sai quente (≈106 °C), ou seja há gradiente suficiente ao longo do trocador.

Passo 6

Calcular a diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) assumindo contracorrente (e F=1):
  • Diferenças de temperatura nas extremidades:
\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o} = 150 - 80 = 70\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i} = 105{,}81 - 30 = 75{,}81\\ \mathrm{K}.
  • LMTD:
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)} = \frac{70 - 75{,}81}{\ln\!\left(\dfrac{70}{75{,}81}\right)} \approx 73{,}4\\ \mathrm{K}.
Breve pedagogia: a LMTD é a média logarítmica das diferenças de temperatura entre os dois fluidos nas duas extremidades do trocador; funciona bem para comparar calor transferido por unidade de área quando o coeficiente global é aproximadamente constante.

Passo 7

Calcular a convecção interna (tubo-lado) do isopropanol: estimativa de h_i usando Dittus–Boelter (escoamento turbulento dentro de tubos lisos). Vou explicar e aplicar passo a passo.
  • Primeiro calculemos o número de Reynolds e o número de Prandtl para o isopropanol no tubo:
\mathrm{Re} = \frac{\rho_c v d_i}{\mu_c} = \frac{732 \cdot 2 \cdot 0{,}01575}{0{,}50\times10^{-3}} \approx 46116,
\mathrm{Pr} = \frac{c_{p,c}\mu_c}{k_c} = \frac{3370 \cdot 0{,}50\times10^{-3}}{0{,}13} \approx 12{,}96.
Explicação curta: \mathrm{Re} decide se o escoamento é laminar ou turbulento; aqui \mathrm{Re}\gg 4000, portanto é turbulento. \mathrm{Pr} descreve a relação entre difusão de momento e difusão térmica.
  • Para escoamento turbulento totalmente desenvolvido e parede lisa, a correlação de Dittus–Boelter é
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{\,n},
onde n=0{,}4 quando o fluido está sendo aquecido (caso do isopropanol aqui).
  • Aplicando:
\mathrm{Nu} \approx 0{,}023\cdot (46116)^{0{,}8}\cdot (12{,}96)^{0{,}4} \approx 346.
  • Coeficiente convectivo interno:
h_i = \frac{\mathrm{Nu}\,k_c}{d_i} \approx \frac{346\cdot 0{,}13}{0{,}01575} \approx 2855\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Comentário amigo: usei Dittus–Boelter porque é direto e apropriado para \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} do problema; em projeto industrial poder-se-ia refinar com Gnielinski, mas o resultado fica na mesma ordem de grandeza.

Passo 8

Calcular o coeficiente global de transferência de calor superficial U baseado na área externa dos tubos, levando em conta resistências por convecção em ambos os lados, resistências de sujeira (fouling) e condução através da parede do tubo. Vou escrever a forma da soma de resistências e aplicar números.
Fórmula para a resistência térmica total por unidade de área externa (unidades \mathrm{m^2K/W}):
\frac{1}{U_o} = \frac{1}{h_o} + R_{f,o} + \frac{d_o}{2k_t}\ln\!\left(\frac{d_o}{d_i}\right) + \frac{d_o}{d_i}\left(\frac{1}{h_i} + R_{f,i}\right).
Explicando cada termo:
  • 1/h_o: resistência convectiva do lado casco (por unidade de área externa).
  • R_{f,o}: fouling no lado casco.
  • termo com \ln(d_o/d_i): resistência por condução através da parede circular (convertida para base externa).
  • último termo: conversão da resistência interna ( 1/h_i e fouling interno) para base de área externa, multiplicando por d_o/d_i.
Agora substituo os valores:
  • razões geométricas:
\frac{d_o}{d_i} = \frac{0{,}01905}{0{,}01575} \approx 1{,}2095, \quad \ln\!\left(\frac{d_o}{d_i}\right)\approx 0{,}1893.
  • cada termo numérico:
\frac{1}{h_o} = \frac{1}{2000} = 0{,}0005\\ \mathrm{m^2K/W},
R_{f,o} = 0{,}0002\\ \mathrm{m^2K/W},
\frac{d_o}{2k_t}\ln\!\left(\frac{d_o}{d_i}\right) = \frac{0{,}01905}{2\cdot 50}\cdot 0{,}1893 \approx 3{,}61\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2K/W},
\frac{d_o}{d_i}\left(\frac{1}{h_i}+R_{f,i}\right) =1{,}2095\left(\frac{1}{2855}+0{,}0002\right) \approx 1{,}2095\cdot 0{,}0005502 \approx 0{,}000665.
Somando as resistências:
\frac{1}{U_o} \approx 0{,}0005 + 0{,}0002 + 0{,}0000361 + 0{,}000665 \approx 0{,}001401.
Logo
U_o \approx \frac{1}{0{,}001401} \approx 713{,}6\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação curta: a resistência dominante aqui vem do lado interno + conversão para área externa; o valor de U está na faixa típica de trocadores óleo–líquido (algumas centenas a poucos milhares \mathrm{W/m^2K}).

Passo 9

Calcular a área total necessária A usando a equação de projeto com LMTD (assumindo F=1):
  • Fórmula:
Q = U_o A \Delta T_{lm} \quad\Rightarrow\quad A = \frac{Q}{U_o \Delta T_{lm}}.
  • Substituindo os valores:
A = \frac{468055{,}6}{713{,}6\cdot 73{,}4} \approx \frac{468055{,}6}{52379} \approx 0{,}0850\times 10^{2}\\ \mathrm{m^2}
(uso do cálculo direto:)
A \approx 8{,}93\\ \mathrm{m^2}.
Vou arredondar para duas casas decimais: A \approx 8{,}93\\ \mathrm{m^2}.

Passo 10

Converter essa área em comprimento dos tubos (sabendo que temos N_t=10 tubos e área externa de cada tubo por unidade de comprimento é \pi d_o):
  • Área externa por tubo de comprimento L: A_{tubo}= \pi d_o L.
  • Área total: A = N_t \pi d_o L → comprimento necessário por tubo:
L = \frac{A}{N_t \pi d_o} = \frac{8{,}93}{10\cdot \pi \cdot 0{,}01905} \approx 14{,}9\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: esse comprimento por tubo é longo para um único tubo real (normalmente usa-se tubos de alguns metros e mais tubos). Como a velocidade interna estava fixa em 2\\ \mathrm{m/s}, o número de tubos ficou pequeno e isso exigiu tubos longos; em projeto prático poderia aumentar N_t (aceitando reduzir velocidade) ou alterar configuração mecânica (mais tubos, múltiplos passes etc.). Mas o enunciado fixou a velocidade, então este é o resultado consistente com as condições dadas.

Passo 11

Resumo numérico e checagem rápida dos valores intermediários (para você revisar se quiser):
  • Vazões: \dot{m}_c=2{,}7778\\ \mathrm{kg/s}, \dot{m}_h=5{,}5556\\ \mathrm{kg/s}.
  • Carga térmica: Q\approx 468{,}056\\ \mathrm{kW}.
  • Temperatura do óleo na saída: T_{h,o}\approx 105{,}81^\circ\mathrm{C}.
  • LMTD: \Delta T_{lm}\approx 73{,}4\\ \mathrm{K}.
  • Número de Reynolds tubo-lado: \mathrm{Re}\approx 4{,}61\times10^4 (turbulento).
  • Coeficientes: h_i\approx 2855\\ \mathrm{W/(m^2K)}, h_o=2000\\ \mathrm{W/(m^2K)} (dado).
  • Coeficiente global: U_o\approx 713{,}6\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Área requerida: A\approx 8{,}93\\ \mathrm{m^2}.
  • Número de tubos (para v=2\\ \mathrm{m/s}): N_t=10.
  • Comprimento por tubo: L\approx 14{,}9\\ \mathrm{m}.
Força moral: já vencemos o cálculo principal — você tem a área de troca e os valores práticos que permitem projetar o trocador. Se quiser, eu te ajudo a ajustar o projeto (por exemplo: escolher um número maior de tubos para reduzir o comprimento, calcular fator de correção F para 1-shell/2-tube-passes, ou refinar h_o com correlações para casco e tubo).

Resposta

Área necessária: A \approx 8{,}93\\ \mathrm{m^2}
Número de tubos (para v=2\\ \mathrm{m/s}): N_t = 10
Comprimento de cada tubo (com 10 tubos): L \approx 14{,}9\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados