A interpretação de análises de laboratório de uma amostra de água de um rio a jusante de um lançamento de esgotos conduziu aos seguintes valores:
(b) demanda última
. Calcular a DBO exercida a 1 , 5 e 20 dias.
(b) demanda última
Passo 1
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Demanda última:
.
O que o enunciado pede:
- Calcular a DBO exercida (isto é, a fração da demanda última já consumida) nos instantes
dia, dias e dias.
Passo 2
Entendendo o modelo que usamos (aulas rápidas, sem pânico):
-
A DBO segue frequentemente uma cinética de primeira ordem: a matéria orgânica biodegradável é consumida a uma taxa proporcional à quantidade ainda por degradar. Isso leva às fórmulas padrões usadas em provas.
-
Definições e notação:
-
é a demanda bioquímica última (DBO total que seria consumida se o tempo fosse infinito), em . -
é a demanda ainda não exercida (remanescente) no tempo , em . -
é a DBO já exercida até o tempo , em . -
é a constante de deoxigenação (taxa de reação) em . Ela depende do tipo de efluente e da temperatura; é essencial para obter valores numéricos.
-
-
Modelo matemático (primeira ordem):
- A quantidade remanescente decai exponencialmente:
Aqui é a base dos logaritmos naturais e está em dias. - A DBO exercida até o tempo
é a diferença entre a demanda última e a remanescente: - Explicando em palavras: no início há
disponível; com o tempo parte foi consumida (essa parte é ) e o resto fica . A equação acima dá exatamente a porção consumida até .
- A quantidade remanescente decai exponencialmente:
Observação importante: para obter números concretos é obrigatório saber o valor de
. O enunciado não forneceu
, portanto só podemos dar expressões gerais em função de
. A seguir faço as fórmulas e, para dar intuição, um exemplo numérico usando um valor típico de referência.
Passo 3
Aplicando a fórmula
com
:
-
Para
dia: -
Para
dias: -
Para
dias:
Essas três expressões são a resposta simbólica exata; basta substituir o valor de
para obter números.
Passo 4
Exemplo numérico ilustrativo (opcional, só para intuição): usar
, que é um valor tipicamente citado para esgoto bruto à temperatura próxima a
em muitos textos. (ATENÇÃO: isto é um exemplo — se na sua prova o enunciado der outro
use aquele.)
Cálculos passo a passo com
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Interpretação rápida: com
a maior parte da DBO já foi exercida em 20 dias; em 5 dias têm-se cerca de
e em 1 dia apenas ~
.
Passo 5
Dicas práticas para a prova:
- Se você tiver um valor medido de
(por exemplo ) e souber , pode estimar isolando da fórmula: - Se só tiver
(medido experimentalmente) e precisar da DBO em outro tempo, estime pela equação acima e depois calcule para o tempo desejado. - Valores típicos de
variam com temperatura e natureza do esgoto; verifique sempre se o enunciado dá ou uma temperatura para ajustar a usando uma relação do tipo (com em torno de a , dependendo da referência).