Uma proposta de projeto de uma estufa prevê a instalação no seu interior de um módulo de resistências elétricas que liberam uma potência de 20 kW de calor. Determinar a temperatura que será alcançada no interior da estufa, onde esta estaria localizada no interior de um ambiente onde o ar e as vizinhanças estão a 30^{\circ} \mathrm{C}. Os valores dos coeficientes de convecção interno e externo são iguais a 250 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) e 20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). A estufa será construida com paredes de alvenaria de 10 cm de espessura (condutividade térmica 0,72 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) e emissividade 0,4 ). A estufa possuirá 3 m de comprimento, 2 m de largura e 2 m de altura.
Table 1: Propriedades fisicas:
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Propriedade Isopropanol Therminol Ar
Vapor
saturado a
280^{\circ} \mathrm{C}
Massa especifica \left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) 732 941 1,1 34,1
Capacidade térmica (\mathrm{J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})) 3370 1908 1008 4824
Viscosidade (\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s}) 0,50 \cdot 10^{-3} 2,42 \cdot 10^{-3} 200 \cdot 10^{-7} 18,9 \cdot 10^{-6}
Condutividade térmica (\mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) 0,13 0,11 0,029 0,061

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a temperatura que será alcançada no interior da estufa em regime estacionário, sabendo que um módulo interno libera 20\\ \mathrm{kW} de calor e que o ambiente externo está a 30^\circ\mathrm{C}.
Informações e dados dados no enunciado:
  • Potência liberada no interior: Q = 20\\ \mathrm{kW} = 20000\\ \mathrm{W}.
  • Temperatura ambiente externa: T_{\mathrm{amb}} = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção interno: h_{\mathrm{in}} = 250\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Coeficiente de convecção externo: h_{\mathrm{out}} = 20\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Espessura das paredes: L = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da alvenaria: k = 0{,}72\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Emissividade das paredes: \varepsilon = 0{,}4.
  • Dimensões internas da estufa: comprimento 3\\ \mathrm{m}, largura 2\\ \mathrm{m}, altura 2\\ \mathrm{m}. (Será assumido que todas as faces trocam calor com o ambiente.)
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}^4).
Observação importante (extraída do enunciado): emissividade foi fornecida, então a radiação entre a superfície externa da estufa e as vizinhanças deve ser considerada juntamente com a convecção externa.

Passo 2

Estratégia de resolução (ideia física, sem cálculo ainda):
  • Em regime estacionário a potência gerada internamente Q é igual à potência que sai para o ambiente.
  • Modela-se a transferência de calor através das paredes por uma rede térmica em série: convecção interna \to condução na parede \to convecção externa + radiação para o ambiente.
  • Para superfícies externas que radiam para o ambiente, lineariza-se a radiação em torno de uma temperatura média e representa-se por um coeficiente convectivo efetivo h_{\mathrm{rad}}, de modo que a troca externa total é com coeficiente h_{\mathrm{ext,tot}} = h_{\mathrm{out}} + h_{\mathrm{rad}}.
  • A resistência térmica total entre o ar interno (temperatura T_{\mathrm{i}}) e o ambiente externo ( T_{\mathrm{amb}}) é:
R_{\mathrm{tot}} = \frac{1}{h_{\mathrm{in}}A} + \frac{L}{kA} + \frac{1}{(h_{\mathrm{out}}+h_{\mathrm{rad}})A},
onde A é a área total das faces que trocam calor.
  • A partir de Q = \dfrac{T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{amb}}}{R_{\mathrm{tot}}} obtém-se T_{\mathrm{i}}.
  • Como h_{\mathrm{rad}} depende das temperaturas (via potências radiativas), será necessário calcular h_{\mathrm{rad}} com uma estimativa de temperatura e iterar até convergência (normalmente poucas iterações bastam).

Passo 3

Cálculo da área total das paredes (pegar dimensões do enunciado):
  • Áreas das faces:
    • Duas faces comprimento × altura: 2\cdot(3\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m}) = 2\cdot6 = 12\\ \mathrm{m}^2.
    • Duas faces largura × altura: 2\cdot(2\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m}) = 2\cdot4 = 8\\ \mathrm{m}^2.
    • Teto e chão: 2\cdot(3\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m}) = 12\\ \mathrm{m}^2.
  • Área total:
A = 12 + 8 + 12 = 32\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Escrever as resistências térmicas por unidade da área total:
  • Resistência por convecção interna:
R_{\mathrm{in}} = \frac{1}{h_{\mathrm{in}}A} = \frac{1}{250\cdot 32}.
  • Resistência por condução na parede:
R_{\mathrm{cond}} = \frac{L}{kA} = \frac{0{,}10}{0{,}72\cdot 32}.
  • Resistência por convecção externa (inicialmente sem radiação):
R_{\mathrm{out,conv}} = \frac{1}{h_{\mathrm{out}}A} = \frac{1}{20\cdot 32}.
Vamos calcular numericamente estes termos (todos em \mathrm{K}/\mathrm{W}).
Cálculos numéricos:
R_{\mathrm{in}} = \frac{1}{250\cdot 32} = \frac{1}{8000} = 0{,}000125\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
R_{\mathrm{cond}} = \frac{0{,}10}{0{,}72\cdot 32} = \frac{0{,}10}{23{,}04} \approx 0{,}00434028\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
R_{\mathrm{out,conv}} = \frac{1}{20\cdot 32} = \frac{1}{640} = 0{,}0015625\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 5

Estimativa inicial sem considerar radiação (para obter uma primeira temperatura que servirá de chute):
  • Resistência total inicial:
R_{\mathrm{tot,0}} = R_{\mathrm{in}} + R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{out,conv}}.
R_{\mathrm{tot,0}} \approx 0{,}000125 + 0{,}00434028 + 0{,}0015625 = 0{,}00602778\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Queda de temperatura total:
\Delta T_0 = Q\,R_{\mathrm{tot,0}} = 20000\cdot 0{,}00602778 \approx 120{,}56\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura interna estimada:
T_{\mathrm{i},0} = T_{\mathrm{amb}} + \Delta T_0 = 30^\circ\mathrm{C} + 120{,}56\\ \mathrm{K} \approx 150{,}56^\circ\mathrm{C}.
Comentário: essa estimativa ignora radiação; como T_{\mathrm{i},0} ficou alta, a radiação externa será significativa e deve ser incluída.

Passo 6

Cálculo da contribuição da radiação externa linearizada e procedimento iterativo:
  • Fórmula exata da radiação entre superfície externa e ambiente (temperaturas em Kelvin):
q_{\mathrm{rad}}/A = \varepsilon\,\sigma\,(T_s^4 - T_{\mathrm{amb,K}}^4),
onde T_s é a temperatura absoluta da superfície externa e T_{\mathrm{amb,K}} é a temperatura absoluta do ambiente.
  • Para usar como resistência linearizada, define-se um coeficiente radiativo linear h_{\mathrm{rad}} tal que:
q_{\mathrm{rad}}/A \approx h_{\mathrm{rad}}\,(T_s - T_{\mathrm{amb}}),
com T_s e T_{\mathrm{amb}} em Kelvin. Uma expressão exata para h_{\mathrm{rad}} (sem aproximar com 4\sigma T^3) é:
h_{\mathrm{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,(T_s^2 + T_{\mathrm{amb,K}}^2)(T_s + T_{\mathrm{amb,K}}).
  • Procedimento: usar a estimativa inicial para obter T_s aproximado, calcular h_{\mathrm{rad}}, somar a h_{\mathrm{out}} e recalcular T_{\mathrm{i}}. Repetir até convergir.
Primeira estimativa dos saltos de temperatura por resistência (com R_{\mathrm{tot,0}}):
  • Queda na convecção interna: \Delta T_{\mathrm{in}} = Q R_{\mathrm{in}} = 20000\cdot 0{,}000125 = 2{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Queda na condução: \Delta T_{\mathrm{cond}} = Q R_{\mathrm{cond}} = 20000\cdot 0{,}00434028 \approx 86{,}8056\\ \mathrm{K}.
  • Queda na convecção externa (inicial): \Delta T_{\mathrm{out,conv}} = Q R_{\mathrm{out,conv}} = 20000\cdot 0{,}0015625 = 31{,}25\\ \mathrm{K}.
    Com isso, estimativa da temperatura da superfície externa (a partir de T_{\mathrm{i},0}):
T_{s,0} \approx T_{\mathrm{i},0} - \Delta T_{\mathrm{in}} - \Delta T_{\mathrm{cond}} \approx 150{,}56 - 2{,}5 - 86{,}8056 \approx 61{,}25^\circ\mathrm{C}.
Converter para Kelvin:
T_{s,0,\mathrm{K}} \approx 61{,}25 + 273{,}15 = 334{,}40\\ \mathrm{K},\qquad T_{\mathrm{amb,K}}=30 + 273{,}15 = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular h_{\mathrm{rad}} usando T_{s,0,\mathrm{K}}:
h_{\mathrm{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,(T_s^2 + T_{\mathrm{amb,K}}^2)(T_s + T_{\mathrm{amb,K}}).
Numérico:
T_s + T_{\mathrm{amb,K}} = 334{,}40 + 303{,}15 = 637{,}55\\ \mathrm{K},
T_s^2 + T_{\mathrm{amb,K}}^2 = 334{,}40^2 + 303{,}15^2 \approx 111812 + 91901 \approx 203713\\ \mathrm{K}^2.
h_{\mathrm{rad}} \approx 0{,}4\cdot(5{,}670374419\times10^{-8})\cdot 203713 \cdot 637{,}55 \approx 2{,}95\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
Assim, coeficiente externo total:
h_{\mathrm{ext,tot}} = h_{\mathrm{out}} + h_{\mathrm{rad}} \approx 20 + 2{,}95 = 22{,}95\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
Nova resistência externa:
R_{\mathrm{out}} = \frac{1}{h_{\mathrm{ext,tot}}A} = \frac{1}{22{,}95\cdot 32} \approx 0{,}0013615\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Nova resistência total:
R_{\mathrm{tot,1}} = R_{\mathrm{in}} + R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{out}} \approx 0{,}000125 + 0{,}00434028 + 0{,}0013615 = 0{,}00582678\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Nova \Delta T e nova T_{\mathrm{i}}:
\Delta T_1 = Q\,R_{\mathrm{tot,1}} = 20000\cdot 0{,}00582678 \approx 116{,}536\\ \mathrm{K},
T_{\mathrm{i},1} = T_{\mathrm{amb}} + \Delta T_1 = 30^\circ\mathrm{C} + 116{,}536 \approx 146{,}536^\circ\mathrm{C}.
Atualizar T_s com esta nova T_{\mathrm{i},1}:
T_{s,1} = T_{\mathrm{i},1} - Q R_{\mathrm{in}} - Q R_{\mathrm{cond}} = T_{\mathrm{i},1} - 2{,}5 - 86{,}8056 \approx 57{,}2304^\circ\mathrm{C},
T_{s,1,\mathrm{K}} \approx 330{,}38\\ \mathrm{K}.
Recalcular h_{\mathrm{rad}} com T_{s,1,\mathrm{K}}:
h_{\mathrm{rad}} \approx 0{,}4\cdot\sigma\cdot(330{,}38^2 + 303{,}15^2)\cdot(330{,}38 + 303{,}15)\approx 2{,}89\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
Isto dá h_{\mathrm{ext,tot}}\approx 22{,}89. Repetindo os passos, obtém-se uma pequena alteração em R_{\mathrm{tot}} e em T_{\mathrm{i}}. Após mais uma iteração a convergência é atingida com valor estável.

Passo 7

Resultado final (convergido) e verificação de quedas de temperatura:
  • Após iterações o valor converge para:
T_{\mathrm{i}}\approx 146{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa convergida:
T_s \approx 57{,}3^\circ\mathrm{C}.
  • Quedas de temperatura (verificando as resistências convergentes):
    • \Delta T_{\mathrm{in}} = Q R_{\mathrm{in}} = 20000\cdot 0{,}000125 = 2{,}5\\ \mathrm{K}.
    • \Delta T_{\mathrm{cond}} \approx 86{,}8\\ \mathrm{K}.
    • \Delta T_{\mathrm{out}} \approx 57{,}3 - 30 = 27{,}3\\ \mathrm{K} (parte por convecção+radiação).
  • Soma dos saltos: 2{,}5 + 86{,}8 + 27{,}3 \approx 116{,}6\\ \mathrm{K}, que mais 30^\circ\mathrm{C} 146{,}6^\circ\mathrm{C} — coerente com Q.
Interpretação física curta: a grande resistência dominante é a condução na parede (espessura relativamente grande e k moderado), daí a diferença grande entre temperatura interna alta e superfície externa mais moderada. A radiação externa com emissividade 0{,}4 fornece apenas algumas unidades de \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K} e portanto contribui pouco em relação à convecção externa de 20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}, mas não pode ser totalmente desprezada quando as temperaturas são altas.

Resposta

T_{\mathrm{i}} \approx 146{,}6^\circ\mathrm{C}

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