Uma proposta de projeto de uma estufa prevê a instalação no seu interior de um módulo de resistências elétricas que liberam uma potência de 20 kW de calor. Determinar a temperatura que será alcançada no interior da estufa, onde esta estaria localizada no interior de um ambiente onde o ar e as vizinhanças estão a
. Os valores dos coeficientes de convecção interno e externo são iguais a
e
. A estufa será construida com paredes de alvenaria de 10 cm de espessura (condutividade térmica
) e emissividade 0,4 ). A estufa possuirá 3 m de comprimento, 2 m de largura e 2 m de altura.
Table 1: Propriedades fisicas:\captionsetup{labelformat=empty}
Propriedade
Isopropanol
Therminol
Ar
Vapor
saturado a
Massa especifica
732
941
1,1
34,1
Capacidade térmica
3370
1908
1008
4824
Viscosidade
Condutividade térmica
0,13
0,11
0,029
0,061
Table 1: Propriedades fisicas:
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| Propriedade | Isopropanol | Therminol | Ar |
|
|||
| Massa especifica
|
732 | 941 | 1,1 | 34,1 | |||
| Capacidade térmica
|
3370 | 1908 | 1008 | 4824 | |||
| Viscosidade
|
|
|
|
|
|||
| Condutividade térmica
|
0,13 | 0,11 | 0,029 | 0,061 |
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar a temperatura que será alcançada no interior da estufa em regime estacionário, sabendo que um módulo interno libera
de calor e que o ambiente externo está a .
Informações e dados dados no enunciado:
- Potência liberada no interior:
. - Temperatura ambiente externa:
. - Coeficiente de convecção interno:
. - Coeficiente de convecção externo:
. - Espessura das paredes:
. - Condutividade térmica da alvenaria:
. - Emissividade das paredes:
. - Dimensões internas da estufa: comprimento
, largura , altura . (Será assumido que todas as faces trocam calor com o ambiente.) - Constante de Stefan–Boltzmann:
.
Observação importante (extraída do enunciado): emissividade foi fornecida, então a radiação entre a superfície externa da estufa e as vizinhanças deve ser considerada juntamente com a convecção externa.
Passo 2
Estratégia de resolução (ideia física, sem cálculo ainda):
- Em regime estacionário a potência gerada internamente
é igual à potência que sai para o ambiente. - Modela-se a transferência de calor através das paredes por uma rede térmica em série: convecção interna
condução na parede convecção externa + radiação para o ambiente. - Para superfícies externas que radiam para o ambiente, lineariza-se a radiação em torno de uma temperatura média e representa-se por um coeficiente convectivo efetivo
, de modo que a troca externa total é com coeficiente . - A resistência térmica total entre o ar interno (temperatura
) e o ambiente externo ( ) é:
onde
é a área total das faces que trocam calor.
- A partir de
obtém-se . - Como
depende das temperaturas (via potências radiativas), será necessário calcular com uma estimativa de temperatura e iterar até convergência (normalmente poucas iterações bastam).
Passo 3
Cálculo da área total das paredes (pegar dimensões do enunciado):
- Áreas das faces:
- Duas faces comprimento × altura:
. - Duas faces largura × altura:
. - Teto e chão:
.
- Duas faces comprimento × altura:
- Área total:
Passo 4
Escrever as resistências térmicas por unidade da área total:
- Resistência por convecção interna:
- Resistência por condução na parede:
- Resistência por convecção externa (inicialmente sem radiação):
Vamos calcular numericamente estes termos (todos em
).
Cálculos numéricos:
Passo 5
Estimativa inicial sem considerar radiação (para obter uma primeira temperatura que servirá de chute):
- Resistência total inicial:
- Queda de temperatura total:
- Temperatura interna estimada:
Comentário: essa estimativa ignora radiação; como
ficou alta, a radiação externa será significativa e deve ser incluída.
Passo 6
Cálculo da contribuição da radiação externa linearizada e procedimento iterativo:
- Fórmula exata da radiação entre superfície externa e ambiente (temperaturas em Kelvin):
onde
é a temperatura absoluta da superfície externa e
é a temperatura absoluta do ambiente.
- Para usar como resistência linearizada, define-se um coeficiente radiativo linear
tal que:
com
e
em Kelvin. Uma expressão exata para
(sem aproximar com
) é:
- Procedimento: usar a estimativa inicial para obter
aproximado, calcular , somar a e recalcular . Repetir até convergir.
Primeira estimativa dos saltos de temperatura por resistência (com
):
- Queda na convecção interna:
- Queda na condução:
- Queda na convecção externa (inicial):
Com isso, estimativa da temperatura da superfície externa (a partir de):
Converter para Kelvin:
Calcular
usando
:
Numérico:
Assim, coeficiente externo total:
Nova resistência externa:
Nova resistência total:
Nova
e nova
:
Atualizar
com esta nova
:
Recalcular
com
:
Isto dá
. Repetindo os passos, obtém-se uma pequena alteração em
e em
. Após mais uma iteração a convergência é atingida com valor estável.
Passo 7
Resultado final (convergido) e verificação de quedas de temperatura:
- Após iterações o valor converge para:
- Temperatura da superfície externa convergida:
- Quedas de temperatura (verificando as resistências convergentes):
-
-
-
(parte por convecção+radiação).
-
- Soma dos saltos:
, que mais dá — coerente com .
Interpretação física curta: a grande resistência dominante é a condução na parede (espessura relativamente grande e k moderado), daí a diferença grande entre temperatura interna alta e superfície externa mais moderada. A radiação externa com emissividade
fornece apenas algumas unidades de
e portanto contribui pouco em relação à convecção externa de
, mas não pode ser totalmente desprezada quando as temperaturas são altas.