Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
S=\left[\binom{-1}{1},\binom{2}{-2},\binom{1}{-1}\right] subespaço de M(2,1).

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = \Bigl[\binom{-1}{1},\,\binom{2}{-2},\,\binom{1}{-1}\Bigr]
de M(2,1) e pede uma base de S e a sua dimensão. O conteúdo envolvido é teste de independência linear e extração de um conjunto gerador mínimo.

Passo 2

Vamos chamar
v_1 = \binom{-1}{1},\quad v_2 = \binom{2}{-2},\quad v_3 = \binom{1}{-1}.
Note que
v_2 = \binom{2}{-2} = -2\,\binom{-1}{1} = -2\,v_1
e
v_3 = \binom{1}{-1} = -1\,\binom{-1}{1} = -1\,v_1.

Passo 3

Como v_2 e v_3 são múltiplos de v_1, todos os vetores de S pertencem à reta gerada por v_1. Logo
S = \operatorname{span}\{v_1\}
e \{v_1\} é um conjunto gerador minimal e linearmente independente (pois v_1\neq0).

Resposta

Uma base de S é
\left\{\binom{-1}{1}\right\},
e a dimensão de S é 1.

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