Seja
é contínua em
. Considere os seguintes subespaços de
:
e
Mostre que
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial
de todas as funções contínuas em
e dos subespaços
e
Precisamos mostrar que
, isto é:
- Todo
pode ser escrito como soma de um par e um ímpar. - A interseção
contém apenas a função zero.
Passo 2
Vamos decompor uma função arbitrária
. Defina
Como soma, diferença e divisão por
preservam a continuidade,
. Além disso:
-
, logo . -
, logo . - Somando,
Portanto, todo
se escreve como
com
e
, mostrando
.
Passo 3
Agora, suponha
. Então
é par e ímpar, ou seja,
Isto implica
para todo
, logo
. Assim,
.
Passo 4
Como mostramos que
-
, e -
,
segue-se que