Seja \mathcal{C}([-a, a])=\{f:[-a, a] \rightarrow \mathbb{R} ; f é contínua em [-a, a]\}. Considere os seguintes subespaços de \mathcal{C}([-a, a]) :
U=\{f \in \mathcal{C}([-a, a]) ; f(-x)=f(x), \forall x \in[-a, a]\}
e
V=\{f \in \mathcal{C}([-a, a]) ; f(-x)=-f(x), \forall x \in[-a, a]\}
Mostre que
\mathcal{C}([-a, a])=U \oplus V

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial \mathcal{C}([-a,a]) de todas as funções contínuas em [-a,a] e dos subespaços
U=\{f:\,f(-x)=f(x)\} \quad\text{(funções pares)}çõ
e
V=\{f:\,f(-x)=-f(x)\} \quad\text{(funções ímpares)}.çõí
Precisamos mostrar que \mathcal{C}([-a,a])=U\oplus V, isto é:
  1. Todo f\in\mathcal{C}([-a,a]) pode ser escrito como soma de um par e um ímpar.
  2. A interseção U\cap V contém apenas a função zero.

Passo 2

Vamos decompor uma função arbitrária f\in\mathcal{C}([-a,a]). Defina
u(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \quad v(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
Como soma, diferença e divisão por 2 preservam a continuidade, u,v\in\mathcal{C}([-a,a]). Além disso:
  1. u(-x)=\tfrac{f(-x)+f(x)}{2}=u(x), logo u\in U.
  2. v(-x)=\tfrac{f(-x)-f(x)}{2}=-\tfrac{f(x)-f(-x)}{2}=-v(x), logo v\in V.
  3. Somando,
u(x)+v(x) =\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2} =f(x).
Portanto, todo f se escreve como f=u+v com u\in U e v\in V, mostrando \mathcal{C}([-a,a])=U+V.

Passo 3

Agora, suponha f\in U\cap V. Então f é par e ímpar, ou seja,
f(-x)=f(x) \quad\text{e}\quad f(-x)=-f(x).
Isto implica f(x)=-f(x) para todo x, logo f(x)=0. Assim, U\cap V=\{0\}.

Passo 4

Como mostramos que
  1. \mathcal{C}([-a,a])=U+V, e
  2. U\cap V=\{0\},
    segue-se que
\mathcal{C}([-a,a])=U\oplus V.

Resposta

\mathcal{C}([-a,a])=U\oplus V.

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