Sejam
. Defina
Verificar se
define um produto interno em
.
Passo 1
O enunciado define em
o mapeamento
e pede para verificar se isso é um produto interno. Para isso, precisamos checar três propriedades:
(1) simetria;
(2) bilinearidade (linearidade em cada argumento);
(3) positividade definida.
(1) simetria;
(2) bilinearidade (linearidade em cada argumento);
(3) positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria de imediato:
Portanto, a simetria vale.
Passo 3
Vamos testar a linearidade em, digamos,
. Precisamos de
Escolha, por exemplo,
Temos
,
e
Logo, para qualquer
,
Isso mostra que a bilinearidade falha.]
Passo 4
Para ser produto interno também seria preciso
para todo
. Mas
e se
é singular
temos
mesmo com
. Ou seja, não é positividade definida.
Resposta
Não. O mapeamento não é bilinear nem é positivamente definido, logo não define produto interno em
.