Sejam A, B \in M(2,2). Defina
\langle A, B\rangle=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
Verificar se \langle A, B\rangle define um produto interno em M(2,2).

Passo 1

O enunciado define em M(2,2) o mapeamento
\langle A,B\rangle = \det(A)\,\det(B)
e pede para verificar se isso é um produto interno. Para isso, precisamos checar três propriedades:
(1) simetria;
(2) bilinearidade (linearidade em cada argumento);
(3) positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria de imediato:
\langle A,B\rangle = \det(A)\,\det(B) =\det(B)\,\det(A) =\langle B,A\rangle.
Portanto, a simetria vale.

Passo 3

Vamos testar a linearidade em, digamos, A. Precisamos de
\langle A+B,C\rangle \stackrel{?}{=} \langle A,C\rangle + \langle B,C\rangle.
Escolha, por exemplo,
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Temos \det(A)=0, \det(B)=0 e
A+B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad \det(A+B)=1.
Logo, para qualquer C,
\langle A+B,C\rangle =1\cdot\det\text{(C)} \quad\text{enquanto}\quad \langle A,C\rangle+\langle B,C\rangle =0\cdot\det\text{(C)}+0\cdot\det\text{(C)} =0.
Isso mostra que a bilinearidade falha.]

Passo 4

Para ser produto interno também seria preciso \langle A,A\rangle>0 para todo A\neq0. Mas
\langle A,A\rangle = \det(A)^2\ge0
e se A é singular \det(A)=0 temos \langle A,A\rangle=0 mesmo com A\neq0. Ou seja, não é positividade definida.

Resposta

Não. O mapeamento não é bilinear nem é positivamente definido, logo não define produto interno em M(2,2).

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