Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços: W=\left\{X \in M(2,2) ; X^{t}=-X\right\} subespaço de M(2,2).
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço
W = \{X\in M(2,2)\mid X^t = -X\},
ou seja, o conjunto de matrizes 2\times2 que são \emph{escassimetricas}. Vamos usar conhecimentos de espaço vetorial, subespaços, base e dimensão.
Passo 2
Escrevemos uma matriz genérica em M(2,2) como
X = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix}.
A condição X^t = -X significa que
\begin{pmatrix} a & c\\\ b & d \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,a & -\,b\\\\ -\,c & -\,d \end{pmatrix}.
Passo 3
Comparando entradas, obtemos as equações:
a = -a,\quad d = -d,\quad c = -b,\quad b = -c.
As duas primeiras dão a=0 e d=0. As outras mostram c=-b. Logo toda matriz em W tem a forma
X = \begin{pmatrix} 0 & b\\\\ -\,b & 0 \end{pmatrix} = b \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix},
com b\in\mathbb{R}.
Passo 4
Vemos que todo X\in W é múltiplo escalar da única matriz
E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.
Isso mostra que \{E\} gera W e que é independentemente linear, logo é uma base de W. Como há apenas um vetor na base, a dimensão de W é 1.