Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \in \mathbb{R}^{5}: x_{1}=x_{2}+x_{3}, x_{4}=x_{5}\right\} subespaço de \mathbb{R}^{5}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=\bigl\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\in\mathbb{R}^{5}\mid x_{1}=x_{2}+x_{3},\;x_{4}=x_{5}\bigr\}.
Queremos encontrar uma base e a dimensão de W. Para isso, vamos expressar as componentes de um vetor genérico em W em função de parâmetros livres.

Passo 2

Das equações x_{1}=x_{2}+x_{3} e x_{4}=x_{5}, escolhemos as variáveis x_{2},x_{3},x_{5} como parâmetros livres. Definimos
a = x_{2},\quad b = x_{3},\quad c = x_{5}.
Logo
x_{1} = a + b, \quad x_{4} = c.
Assim um vetor qualquer de W é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) =(a+b,\;a,\;b,\;c,\;c).

Passo 3

Agora escrevemos esse vetor como combinação linear de vetores correspondentes a a, b e c:
(a+b,a,b,c,c) = a\,(1,1,0,0,0) + b\,(1,0,1,0,0) + c\,(0,0,0,1,1).
Dessa forma vemos que
W = \Span\bigl\{(1,1,0,0,0),\;(1,0,1,0,0),\;(0,0,0,1,1)\bigr\}.

Passo 4

Os três vetores (1,1,0,0,0), (1,0,1,0,0) e (0,0,0,1,1) são linearmente independentes (cada parámetro independe dos outros). Como geram todo W, formam uma base de W. O número de vetores na base é a dimensão de W, ou seja, \dim W = 3.

Resposta

Uma base de W é
\bigl\{(1,1,0,0,0),\;(1,0,1,0,0),\;(0,0,0,1,1)\bigr\},
e \dim W = 3.

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