Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
W=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{4} ; p(1)=p^{\prime}(1)=p^{\prime \prime}(1)=0\right\} subespaço de \mathcal{P}_{4}.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço W=\{p(t)\in\mathcal{P}_4 \mid p(1)=p'(1)=p''(1)=0\}
Precisamos encontrar uma base de W e sua dimensão. O conteúdo é teoria de subespaços de polinômios, uso do Teorema do Resto e multiplicidade de raízes.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, a condição p(1)=0 implica que (t-1) divide p(t). De modo análogo, p'(1)=0 força (t-1)^2\mid p(t) e p''(1)=0 força (t-1)^3\mid p(t). Assim podemos escrever
p(t)=(t-1)^3\,q(t).

Passo 3

Como \deg(p)\le4, o quociente q(t) é um polinômio de grau no máximo 1. Logo
q(t)=\alpha\,t+\beta, \quad(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2.
Isso mostra que W é isomorfo a \mathbb R^2.

Passo 4

Basta escolher duas escolhas independentes de (\alpha,\beta), por exemplo (1,0) e (0,1). Definimos
p_1(t)=(t-1)^4, \quad p_2(t)=(t-1)^3.
Então \{p_2,p_1\}=\{(t-1)^3,(t-1)^4\} é uma base de W e há exatamente 2 vetores nela.

Resposta

Uma base de W é \{(t-1)^3,\,(t-1)^4\} e \dim W=2.

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