Determinar o centro de gravidade do sólido
, sendo
.
Passo 1
O enunciado nos dá o sólido
e a densidade constante
. Em palavras: é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
, com vértices em
,
,
e
.
O que é pedido: determinar o centro de gravidade (centro de massa), isto é as coordenadas
do centro de massa do sólido homogêneo.
Informações relevantes dadas:
- Região
descrita por e (peguei isso do enunciado). - Densidade
(uniforme). - Precisamos calcular
onde
é a massa total.
Passo 2
Explicando as fórmulas e o raciocínio que vou usar (mini-aula rápida e prática):
- Para um sólido com densidade
, a massa total é . Aqui , então é simplesmente o volume de . - A coordenada
do centro de massa é a média ponderada da coordenada por unidade de massa:
Analogamente para
e
.
- O elemento de volume em coordenadas cartesianas é
(ou outra ordem). Vou escolher a ordem porque a desigualdade permite limites simples nessa ordem: -
vai de até . - Para um
fixo, vai de até . - Para
fixos, vai de até .
-
- Portanto os integrais triplos ficam com os limites:
Passo 3
Calcular primeiro a massa total
(que é o volume do tetraedro). Montando o integral:
Integro em
primeiro:
Então
Integro em
:
Logo
Faço a substituição mental
(ou faço direto):
Portanto
. (Isto é o volume do tetraedro; útil decorar: volume de um tetraedro com interceptos
nas três coordenadas é
.)
Passo 4
Calcular agora o numerador para
:
Integro em
:
Então
Integro em
:
Portanto
Agora desenvolvo o integrando para integrar facilmente:
Integro termo a termo de
a
:
Avalio em
:
Coloco tudo sobre denominador
:
então dentro do parêntese temos
Multiplicando por
dá
Passo 5
Calculo
dividindo pelo massa
:
Passo 6
Argumento de simetria para
e
: a região
é totalmente simétrica em relação às permutações de
(o enunciado mostra isso através da forma
e
). Com densidade uniforme, não há razão para que
ou
sejam diferentes de
. Portanto
Observação rápida e esperta (uma dica para prova): para um simplex (como este tetraedro) o centro de massa do sólido homogêneo coincide com a média aritmética das coordenadas dos vértices; aqui os vértices são
e a média em cada coordenada é
, idem para as outras, dando o mesmo resultado com menos cálculo.