Determinar o centro de gravidade do sólido V=\left\{(x, y, z): \frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a} \leq 1 \wedge(x, y, z \geq 0)\right\}, sendo \rho(x, y, z)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o sólido
V=\{(x,y,z)\mid \tfrac{x}{a}+\tfrac{y}{a}+\tfrac{z}{a}\le 1,\; x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0\},
e a densidade constante \rho(x,y,z)=1. Em palavras: é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano \,x+y+z=a, com vértices em (0,0,0), (a,0,0), (0,a,0) e (0,0,a).
O que é pedido: determinar o centro de gravidade (centro de massa), isto é as coordenadas \bar{x},\bar{y},\bar{z} do centro de massa do sólido homogêneo.
Informações relevantes dadas:
  • Região V descrita por x+y+z\le a e x,y,z\ge 0 (peguei isso do enunciado).
  • Densidade \rho=1 (uniforme).
  • Precisamos calcular
\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_{V} x\,\rho\,dV,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iiint_{V} y\,\rho\,dV,\qquad \bar{z}=\frac{1}{M}\iiint_{V} z\,\rho\,dV,
onde M=\iiint_{V}\rho\,dV é a massa total.

Passo 2

Explicando as fórmulas e o raciocínio que vou usar (mini-aula rápida e prática):
  • Para um sólido com densidade \rho(x,y,z), a massa total é M=\iiint_{V}\rho\,dV. Aqui \rho=1, então M é simplesmente o volume de V.
  • A coordenada \bar{x} do centro de massa é a média ponderada da coordenada x por unidade de massa:
\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_{V} x\,\rho\,dV.
Analogamente para \bar{y} e \bar{z}.
  • O elemento de volume em coordenadas cartesianas é dV=dz\,dy\,dx (ou outra ordem). Vou escolher a ordem dz\,dy\,dx porque a desigualdade x+y+z\le a permite limites simples nessa ordem:
    • x vai de 0 até a.
    • Para um x fixo, y vai de 0 até a-x.
    • Para x,y fixos, z vai de 0 até a-x-y.
  • Portanto os integrais triplos ficam com os limites:
\int_{x=0}^{a}\int_{y=0}^{a-x}\int_{z=0}^{a-x-y} (\cdot)\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Calcular primeiro a massa total M (que é o volume do tetraedro). Montando o integral:
M=\iiint_{V}1\,dV=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\,a-x}\int_{0}^{\,a-x-y} 1\;dz\,dy\,dx.
Integro em z primeiro:
\int_{0}^{\,a-x-y} 1\;dz = a-x-y.
Então
M=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\,a-x} (a-x-y)\;dy\,dx.
Integro em y:
\int_{0}^{\,a-x} (a-x-y)\;dy = \big[(a-x)y-\tfrac{1}{2}y^{2}\big]_{y=0}^{y=a-x} = (a-x)(a-x)-\tfrac{1}{2}(a-x)^{2} = \tfrac{1}{2}(a-x)^{2}.
Logo
M=\int_{0}^{a} \tfrac{1}{2}(a-x)^{2}\;dx.
Faço a substituição mental u=a-x (ou faço direto):
M=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{a} (a-x)^{2}\;dx =\tfrac{1}{2}\left[\frac{(a-x)^{3}}{-3}\right]_{0}^{a} =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{a^{3}}{3} =\frac{a^{3}}{6}.
Portanto M=\dfrac{a^{3}}{6}. (Isto é o volume do tetraedro; útil decorar: volume de um tetraedro com interceptos a nas três coordenadas é a^{3}/6.)

Passo 4

Calcular agora o numerador para \bar{x}:
\iiint_{V} x\,dV=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\,a-x}\int_{0}^{\,a-x-y} x\;dz\,dy\,dx.
Integro em z:
\int_{0}^{\,a-x-y} x\;dz = x(a-x-y).
Então
\iiint_{V} x\,dV = \int_{0}^{a}\int_{0}^{\,a-x} x(a-x-y)\;dy\,dx.
Integro em y:
\int_{0}^{\,a-x} x(a-x-y)\;dy = x\int_{0}^{\,a-x} (a-x-y)\;dy = x\cdot \tfrac{1}{2}(a-x)^{2}.
Portanto
\iiint_{V} x\,dV = \int_{0}^{a} \tfrac{1}{2}x(a-x)^{2}\;dx.
Agora desenvolvo o integrando para integrar facilmente:
\tfrac{1}{2}x(a-x)^{2} = \tfrac{1}{2}x\big(a^{2}-2ax+x^{2}\big) = \tfrac{1}{2}\big(a^{2}x-2a x^{2}+x^{3}\big).
Integro termo a termo de 0 a a:
\iiint_{V} x\,dV = \tfrac{1}{2}\left[\frac{a^{2}x^{2}}{2}-\frac{2a x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{a}.
Avalio em x=a:
\iiint_{V} x\,dV = \tfrac{1}{2}\left(\frac{a^{4}}{2}-\frac{2a\cdot a^{3}}{3}+\frac{a^{4}}{4}\right) = \tfrac{1}{2}\left(\frac{a^{4}}{2}-\frac{2a^{4}}{3}+\frac{a^{4}}{4}\right).
Coloco tudo sobre denominador 12:
\frac{a^{4}}{2}=\frac{6a^{4}}{12},\quad \frac{2a^{4}}{3}=\frac{8a^{4}}{12},\quad \frac{a^{4}}{4}=\frac{3a^{4}}{12},
então dentro do parêntese temos
\frac{6a^{4}-8a^{4}+3a^{4}}{12}=\frac{a^{4}}{12}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}
\iiint_{V} x\,dV = \frac{a^{4}}{24}.

Passo 5

Calculo \bar{x} dividindo pelo massa M:
\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_{V} x\,dV = \frac{a^{4}/24}{a^{3}/6} = \frac{a^{4}}{24}\cdot\frac{6}{a^{3}} = \frac{6a}{24} = \frac{a}{4}.

Passo 6

Argumento de simetria para \bar{y} e \bar{z}: a região V é totalmente simétrica em relação às permutações de x,y,z (o enunciado mostra isso através da forma x+y+z\le a e x,y,z\ge0). Com densidade uniforme, não há razão para que \bar{y} ou \bar{z} sejam diferentes de \bar{x}. Portanto
\bar{y}=\bar{z}=\frac{a}{4}.
Observação rápida e esperta (uma dica para prova): para um simplex (como este tetraedro) o centro de massa do sólido homogêneo coincide com a média aritmética das coordenadas dos vértices; aqui os vértices são (0,0,0),(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a) e a média em cada coordenada é (0+a+0+0)/4=a/4, idem para as outras, dando o mesmo resultado com menos cálculo.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{a}{4},\frac{a}{4},\frac{a}{4}\right)

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