Determinar a massa do sólido:
, tal que em cada ponto a densidade é
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Região do sólido:
(um cubo de aresta ). - Densidade no ponto
: .
O que se pede: - Determinar a massa total do sólido com essa densidade.
Passo 2
Conceito fundamental (o que vou usar): a massa
de um corpo com densidade
é dada pela integral tripla da densidade sobre a região
:
Aqui
é o elemento de volume (no sistema cartesiano
). A integral tripla soma a contribuição de massa de cada pedacinho de volume.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado:
Como
é o cubo
e a função é contínua, posso usar a linearidade da integral e separar:
Por simetria (região e limites iguais), os três integrais valem o mesmo; vou calcular
e multiplicar por 3.
Passo 4
Calcular
como integral iterada:
Faço a integração na ordem dada, passo a passo:
- Integro em
(a integranda não depende de ):
- Agora integrar em
(também não depende de ):
- Finalmente integrar em
:
Logo
Passo 5
Pelos mesmos argumentos (simetria dos limites),
Somando os três termos: