Determinar a massa do sólido:
V=\{(x, y, z): 0 \leq x, y, z, \leq a\}, tal que em cada ponto a densidade é \rho(x, y, z)=x+y+z.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Região do sólido: \;V=\{(x,y,z):0\le x\le a,\;0\le y\le a,\;0\le z\le a\} (um cubo de aresta \,a\!).
  • Densidade no ponto (x,y,z): \;\rho(x,y,z)=x+y+z.
    O que se pede:
  • Determinar a massa total do sólido com essa densidade.

Passo 2

Conceito fundamental (o que vou usar): a massa M de um corpo com densidade \rho(x,y,z) é dada pela integral tripla da densidade sobre a região V:
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui dV é o elemento de volume (no sistema cartesiano dV=dx\,dy\,dz). A integral tripla soma a contribuição de massa de cada pedacinho de volume.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado:
M=\iiint_{V} (x+y+z)\,dV.
Como V é o cubo [0,a]\times[0,a]\times[0,a] e a função é contínua, posso usar a linearidade da integral e separar:
M=\iiint_{V} x\,dV \;+\; \iiint_{V} y\,dV \;+\; \iiint_{V} z\,dV.
Por simetria (região e limites iguais), os três integrais valem o mesmo; vou calcular \iiint_{V} x\,dV e multiplicar por 3.

Passo 4

Calcular \iiint_{V} x\,dV como integral iterada:
\iiint_{V} x\,dV=\int_{0}^{a}\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} x\,dz\,dy\,dx.
Faço a integração na ordem dada, passo a passo:
  • Integro em z (a integranda não depende de z):
\int_{0}^{a} x\,dz = x\cdot\bigl[z\bigr]_{0}^{a} = x\cdot a = a x.
  • Agora integrar em y (também não depende de y):
\int_{0}^{a} a x\,dy = a x \cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{a} = a x\cdot a = a^{2} x.
  • Finalmente integrar em x:
\int_{0}^{a} a^{2} x\,dx = a^{2}\cdot \bigl[\tfrac{1}{2}x^{2}\bigr]_{0}^{a} = a^{2}\cdot \tfrac{1}{2}a^{2} = \tfrac{1}{2}a^{4}.
Logo
\iiint_{V} x\,dV = \tfrac{1}{2}a^{4}.

Passo 5

Pelos mesmos argumentos (simetria dos limites),
\iiint_{V} y\,dV = \tfrac{1}{2}a^{4},\qquad \iiint_{V} z\,dV = \tfrac{1}{2}a^{4}.
Somando os três termos:
M=\tfrac{1}{2}a^{4}+\tfrac{1}{2}a^{4}+\tfrac{1}{2}a^{4}= \tfrac{3}{2}a^{4}.

Resposta

\dfrac{3}{2}a^{4}

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