Determinar a circunferência circunscrita ao triângulo de vértices (0,0),(4,0) e (0,6).

Passo 1

O enunciado pede a circunferência circunscrita ao triângulo de vértices (0,0), (4,0) e (0,6). Em geometria analítica, para achar essa circunferência precisamos determinar o seu centro (o circuncentro) como interseção das mediatrizes dos lados do triângulo e depois calcular o raio como a distância desse centro a qualquer vértice.

Passo 2

Vamos obter as mediatrizes de dois lados quaisquer.
Para o lado AB com A=(0,0) e B=(4,0):
O ponto médio é
M_{AB} = \bigl(\tfrac{0+4}{2},\,\tfrac{0+0}{2}\bigr) = (2,0).
A reta AB é horizontal (coeficiente angular 0), então sua mediatriz é a reta vertical
x = 2.
Para o lado AC com A=(0,0) e C=(0,6):
O ponto médio é
M_{AC} = \bigl(\tfrac{0+0}{2},\,\tfrac{0+6}{2}\bigr) = (0,3).
A reta AC é vertical (coeficiente angular indefinido), então sua mediatriz é a reta horizontal
y = 3.

Passo 3

O circuncentro O\) é o ponto de interseção das mediatrizes: \[\begin{cases} x = 2,\\\ y = 3. \end{cases}
Logo (O = (2,3)].

Passo 4

O raio r é a distância de O a qualquer vértice, por exemplo a A=(0,0):
r = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

Passo 5

Com centro O=(2,3) e raio r=\sqrt{13}, a equação da circunferência é
(x-2)^2 + (y-3)^2 = 13.

Resposta

(x-2)^2 + (y-3)^2 = 13

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