Determinar a circunferência que passa pelo ponto \mathbf{P}(\mathbf{4}, 9), é tangente à reta \mathrm{t}: \mathbf{y}+1=0 e tem o centro no eixo dos y.

Passo 1

O enunciado pede a circunferência que:
— passa por P(4,9),
— é tangente à reta t\colon y+1=0,
— e tem o centro sobre o eixo y (ou seja, centro (0,k)).
O conteúdo envolve equações de circunferência, condição de passagem por um ponto e condição de tangência (distância de um ponto a uma reta).

Passo 2

Seja o centro C=(0,k) e o raio r. A equação da circunferência é
x^2 + (y-k)^2 = r^2.
Como P(4,9) está na circunferência, temos
4^2 + (9-k)^2 = r^2,
isto é,
16 + (9-k)^2 = r^2.

Passo 3

A circunferência é tangente à reta y+1=0, ou seja, y=-1. A condição de tangência diz que a distância do centro C à reta é igual a r. A distância de (0,k) à reta y+1=0 é
\frac{|k - (-1)|}{\sqrt{1^2}} = |k+1|.
Logo
r = |k+1|.

Passo 4

Substituindo r^2 = (k+1)^2 na condição de passagem por P, obtemos
16 + (9-k)^2 = (k+1)^2.

Passo 5

Expandindo os quadrados:
16 + (81 - 18k + k^2) = k^2 + 2k + 1.
Cancelando k^2 dos dois lados:
16 + 81 - 18k = 2k + 1 \quad\Longrightarrow\quad 97 - 18k = 2k + 1 \quad\Longrightarrow\quad 97 - 1 = 20k \quad\Longrightarrow\quad 20k = 96 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{96}{20} = \frac{24}{5}.

Passo 6

Como k+1 = \tfrac{24}{5} + 1 = \tfrac{29}{5}>0, temos
r = |k+1| = \frac{29}{5}.

Resposta

A circunferência é
x^2 + \bigl(y - \tfrac{24}{5}\bigr)^2 = \Bigl(\tfrac{29}{5}\Bigr)^2.

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