Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(7,10), B(-9,2) e C(9,-4).

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa por A(7,10), B(-9,2) e C(9,-4).
Conteúdo: geometria analítica de círculos.
Vamos usar a forma geral da circunferência
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
e determinar D, E e F impondo que cada ponto satisfaça essa equação.

Passo 2

Substituindo A(7,10), B(-9,2) e C(9,-4) na forma geral obtemos três equações lineares em D,E,F.

Passo 3

De A(7,10):
7^2 + 10^2 + 7D + 10E + F = 0
7D + 10E + F = -149
De B(-9,2):
(-9)^2 + 2^2 -9D + 2E + F = 0
-9D + 2E + F = -85
De C(9,-4):
9^2 + (-4)^2 + 9D -4E + F = 0
9D - 4E + F = -97

Passo 4

Eliminamos F\) subtraindo as equações: \[(7D+10E+F)\;-\;(-9D+2E+F)\;=\;-149 -(-85)
16D + 8E = -64
2D + E = -8
(9D-4E+F)\;-\;(-9D+2E+F)\;=\;-97 -(-85)
18D - 6E = -12
3D - E = -2
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2D + E = -8,\\\\ 3D - E = -2, \end{cases}
somando as duas equações dá (5D = -10], logo
D = -2,\quad E = - (2D +8) = - (2\cdot(-2)+8) = -4.

Passo 5

Para achar F, usamos -9D + 2E + F = -85:
-9(-2) + 2(-4) + F = -85
18 -8 + F = -85
F = -85 -10 = -95.

Resposta

A equação da circunferência é
\boxed{x^2 + y^2 - 2x - 4y - 95 = 0.}

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