Extra 4. Seja f(s)=\int_{s}^{s^{2}} \frac{\operatorname{sen}(t)}{t^{2}} d t. Determine f^{\prime}(s).

Passo 1

O enunciado define a função
f(s)=\int_{s}^{s^{2}}\frac{\sin(t)}{t^{2}}\,dt
e pede sua derivada f'(s). O conteúdo principal aqui é a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites dependentes de s.

Passo 2

Pela regra de Leibniz, se
F(s)=\int_{a(s)}^{b(s)}g(t)\,dt,
então
F'(s)=g\bigl(b(s)\bigr)\,b'(s)\;-\;g\bigl(a(s)\bigr)\,a'(s).
No nosso caso, g(t)=\sin(t)/t^{2}, a(s)=s e b(s)=s^{2}.

Passo 3

Calculando as contribuições:
  1. limite superior: g\bigl(b(s)\bigr)\,b'(s) =\frac{\sin(s^{2})}{(s^{2})^{2}}\cdot\bigl(s^{2}\bigr)' =\frac{\sin(s^{2})}{s^{4}}\cdot2s =\frac{2s\,\sin(s^{2})}{s^{4}} =\frac{2\,\sin(s^{2})}{s^{3}}.
  2. limite inferior: g\bigl(a(s)\bigr)\,a'(s) =\frac{\sin(s)}{s^{2}}\cdot1 =\frac{\sin(s)}{s^{2}}.

Passo 4

Juntando as duas partes, temos
f'(s) =\frac{2\,\sin(s^{2})}{s^{3}} \;-\;\frac{\sin(s)}{s^{2}}.

Resposta

f'(s)=\frac{2\,\sin(s^{2})}{s^{3}}-\frac{\sin(s)}{s^{2}}.

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