1. Determinar os coeficientes angular e linear do gráfico x=f(t). (Incluir cálculo da regressão linear).
    Coeficiente angular a= \_\_\_\_
    Coeficiente linear b= \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado pede para determinar os coeficientes angular e linear do gráfico x=f(t) e diz “Incluir cálculo da regressão linear”. Ou seja, quer a reta de regressão linear dos dados de x em função de t: a equação
x = a\,t + b,
onde a é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear (intercepto).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma lista de pontos (t_i,x_i), nenhuma tabela nem figura com os dados.
Conclusão imediata: sem os pares de dados (t_i,x_i) não é possível calcular numericamente a e b. Vou então mostrar passo a passo exatamente o que você tem de fazer — e explicar a teoria e as fórmulas — para que, assim que tiver os dados, você consiga calcular na prova sem erro.

Passo 2

O método que vamos usar é o método dos mínimos quadrados (regressão linear simples). A ideia básica: escolher a e b que minimizam a soma dos quadrados dos erros (resíduos) x_i - (a t_i + b). As fórmulas fechadas para os coeficientes são:
a = \frac{\displaystyle n\sum_{i=1}^n t_i x_i - \left(\sum_{i=1}^n t_i\right)\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)}{\displaystyle n\sum_{i=1}^n t_i^2 - \left(\sum_{i=1}^n t_i\right)^2}
b = \bar{x} - a\,\bar{t}
Agora explico o que cada símbolo significa, passo a passo:
  • n é o número de observações (quantos pares (t_i,x_i) você tem).
  • t_i é o valor da variável independente (tempo, por exemplo) na i-ésima observação.
  • x_i é o valor da variável dependente correspondente.
  • \sum_{i=1}^n t_i é a soma de todos os t_i.
  • \sum_{i=1}^n x_i é a soma de todos os x_i.
  • \sum_{i=1}^n t_i x_i é a soma dos produtos t_i x_i.
  • \sum_{i=1}^n t_i^2 é a soma dos quadrados t_i^2.
  • \bar{t} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n t_i é a média dos t_i.
  • \bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i é a média dos x_i.
Essas fórmulas derivam de igualar a zero as derivadas parciais da soma dos quadrados dos resíduos em relação a a e b. Não precisa decorar a dedução agora; memorize as fórmulas e, mais importante, saiba calcular as somas que aparecem nelas.

Passo 3

Passo a passo operacional (o que você vai fazer na prova, sem calculadora complicada — só aritmética):
  1. Liste os pares (t_i,x_i).\n
  2. Para cada par calcule t_i, x_i, t_i^2 e t_i x_i.\n
  3. Calcule as somas: \sum t_i, \sum x_i, \sum t_i^2, \sum t_i x_i.\n
  4. Calcule n e as médias \bar{t}=\dfrac{\sum t_i}{n}, \bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}.\n
  5. Substitua tudo na fórmula de a:
a = \frac{n\sum t_i x_i - (\sum t_i)(\sum x_i)}{n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2}.
Faça a subtração e divisão com cuidado — muitas vezes dá para simplificar cancelando fatores comuns antes de multiplicar tudo (economiza trabalho manual).\n
6. Em seguida calcule b = \bar{x} - a\,\bar{t}.
Vou fazer um exemplo numérico pequeno e completo para ilustrar o cálculo e “mastigar” a aritmética — isso vai te treinar para a prova.

Passo 4

Considere os pontos (exemplo): (t_1,x_1)=(1,2), (t_2,x_2)=(2,3), (t_3,x_3)=(3,5). (Observação: esses valores são só para mostrar o procedimento; substitua pelos seus dados reais.)
  1. Calcule n=3.\n
  2. Calcule somas:
\sum t_i = 1+2+3 = 6,
\sum x_i = 2+3+5 = 10,
\sum t_i^2 = 1^2+2^2+3^2 = 1+4+9 = 14,
\sum t_i x_i = 1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot5 = 2 + 6 + 15 = 23.
  1. Substitua na fórmula de a:
a = \frac{3\cdot 23 - 6\cdot 10}{3\cdot 14 - 6^2} = \frac{69 - 60}{42 - 36} = \frac{9}{6} = 1{,}5.
  1. Calcule as médias:
\bar{t} = \frac{6}{3} = 2,\qquad \bar{x} = \frac{10}{3} \approx 3{,}333\ldots
  1. Calcule b:
b = \bar{x} - a\,\bar{t} = \frac{10}{3} - 1{,}5\cdot 2 = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10-9}{3} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\ldots
Resultado do exemplo: a=1{,}5 e b=\dfrac{1}{3}. Isso confirma que a receita funciona end-to-end.

Passo 5

Outra forma prática e às vezes mais simples numericamente é trabalhar com desvios (centrar as variáveis):
  1. Calcule \bar{t} e \bar{x}.\n
  2. Para cada i calcule u_i = t_i - \bar{t} e v_i = x_i - \bar{x}.\n
  3. Calcule \sum u_i v_i e \sum u_i^2.\n
  4. Então
a = \frac{\sum_{i=1}^n u_i v_i}{\sum_{i=1}^n u_i^2}, \qquad b = \bar{x} - a\,\bar{t}.
Essa forma costuma reduzir riscos de overflow e erros de arredondamento quando os t_i são grandes, e é a mesma fórmula, só reescrita.
Interpretação simples: a é a variação média de x quando t aumenta 1 unidade; b é o valor previsto de x quando t=0.

Passo 6

Erros comuns na prova e dicas rápidas:
  • Não esqueça de calcular n corretamente. Se você omitir um ponto, as somas e médias ficam erradas.
  • Quando fizer multiplicações grandes, tente simplificar a fração do numerador e denominador antes de multiplicar, para evitar contas desnecessárias.
  • Se aparecer divisão por zero em a (ou seja, se n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2 = 0), isso significa que todos os t_i são iguais (variância zero) e não há regressão linear bem definida — aí você deve avisar que não é possível obter uma reta única.
  • Use a forma por desvios quando as médias forem inteiras ou simples; facilita as contas manuais.
  • Interprete o resultado no contexto do problema: se aparecer b negativo e o contexto não permitir valores negativos, comente isso no enunciado — pode ser indicador de extrapolação inválida.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a e b porque os pares de dados (t_i,x_i) não foram fornecidos.

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