- Determinar os coeficientes angular e linear do gráfico
. (Incluir cálculo da regressão linear).
Coeficiente angular
Coeficiente linear
Coeficiente angular
Coeficiente linear
Passo 1
O enunciado pede para determinar os coeficientes angular e linear do gráfico
e diz “Incluir cálculo da regressão linear”. Ou seja, quer a reta de regressão linear dos dados de
em função de
: a equação
onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o coeficiente linear (intercepto).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma lista de pontos , nenhuma tabela nem figura com os dados.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma lista de pontos
Conclusão imediata: sem os pares de dados
não é possível calcular numericamente
e
. Vou então mostrar passo a passo exatamente o que você tem de fazer — e explicar a teoria e as fórmulas — para que, assim que tiver os dados, você consiga calcular na prova sem erro.
Passo 2
O método que vamos usar é o método dos mínimos quadrados (regressão linear simples). A ideia básica: escolher
e
que minimizam a soma dos quadrados dos erros (resíduos)
. As fórmulas fechadas para os coeficientes são:
Agora explico o que cada símbolo significa, passo a passo:
-
é o número de observações (quantos pares você tem). -
é o valor da variável independente (tempo, por exemplo) na i-ésima observação. -
é o valor da variável dependente correspondente. -
é a soma de todos os . -
é a soma de todos os . -
é a soma dos produtos . -
é a soma dos quadrados . -
é a média dos . -
é a média dos .
Essas fórmulas derivam de igualar a zero as derivadas parciais da soma dos quadrados dos resíduos em relação a
e
. Não precisa decorar a dedução agora; memorize as fórmulas e, mais importante, saiba calcular as somas que aparecem nelas.
Passo 3
Passo a passo operacional (o que você vai fazer na prova, sem calculadora complicada — só aritmética):
- Liste os pares
.\n - Para cada par calcule
, , e .\n - Calcule as somas:
, , , .\n - Calcule
e as médias , .\n - Substitua tudo na fórmula de
:
Faça a subtração e divisão com cuidado — muitas vezes dá para simplificar cancelando fatores comuns antes de multiplicar tudo (economiza trabalho manual).\n
6. Em seguida calcule .
6. Em seguida calcule
Vou fazer um exemplo numérico pequeno e completo para ilustrar o cálculo e “mastigar” a aritmética — isso vai te treinar para a prova.
Passo 4
Considere os pontos (exemplo):
,
,
. (Observação: esses valores são só para mostrar o procedimento; substitua pelos seus dados reais.)
- Calcule
.\n - Calcule somas:
- Substitua na fórmula de
:
- Calcule as médias:
- Calcule
:
Resultado do exemplo:
e
. Isso confirma que a receita funciona end-to-end.
Passo 5
Outra forma prática e às vezes mais simples numericamente é trabalhar com desvios (centrar as variáveis):
- Calcule
e .\n - Para cada i calcule
e .\n - Calcule
e .\n - Então
Essa forma costuma reduzir riscos de overflow e erros de arredondamento quando os
são grandes, e é a mesma fórmula, só reescrita.
Interpretação simples:
é a variação média de
quando
aumenta 1 unidade;
é o valor previsto de
quando
.
Passo 6
Erros comuns na prova e dicas rápidas:
- Não esqueça de calcular
corretamente. Se você omitir um ponto, as somas e médias ficam erradas. - Quando fizer multiplicações grandes, tente simplificar a fração do numerador e denominador antes de multiplicar, para evitar contas desnecessárias.
- Se aparecer divisão por zero em
(ou seja, se ), isso significa que todos os são iguais (variância zero) e não há regressão linear bem definida — aí você deve avisar que não é possível obter uma reta única. - Use a forma por desvios quando as médias forem inteiras ou simples; facilita as contas manuais.
- Interprete o resultado no contexto do problema: se aparecer
negativo e o contexto não permitir valores negativos, comente isso no enunciado — pode ser indicador de extrapolação inválida.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
e
porque os pares de dados
não foram fornecidos.