1. Calcular o desvio-padrão \sigma_{m} para as velocidades médias medidas para o caso de m=28 \mathrm{~g} e m=38 \mathrm{~g}.
\begin{aligned} & \sigma_{m}(28 \mathrm{~g})= \\ & \sigma_{m}(38 \mathrm{~g})= \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o desvio-padrão \sigma_{m} das velocidades médias medidas para os casos m=28\\ \mathrm{g} e m=38\\ \mathrm{g}.
Informações fornecidas no enunciado: apenas os dois valores das massas m=28\\ \mathrm{g} e m=38\\ \mathrm{g} e o pedido dos respectivos \sigma_{m}.
Informação que falta (necessária para calcular numericamente): os valores das velocidades medidas (a lista de medidas de velocidade para cada massa) ou, no mínimo, a média e o desvio-quadrático-somado. Sem esses dados numéricos não é possível fornecer valores numéricos de \sigma_{m}. Não foi enviada nenhuma tabela ou figura com as medidas; portanto, não há como calcular números finais neste momento.

Passo 2

O que vamos calcular exatamente (explicação do que é \sigma_{m} em contexto experimental).
Em experimentos em que se repetem várias medições de uma mesma grandeza (por exemplo, velocidade) para uma dada condição (aqui: uma massa m), costumamos reportar:
  • a média das medições, \bar{v}, que é a melhor estimativa do valor central; e
  • a incerteza associada à média. Existem duas quantidades relacionadas que aparecem com frequência:
    1. o desvio-padrão amostral s (mede a dispersão das medições); e
    2. o erro padrão da média (às vezes chamado de desvio-padrão da média), \sigma_{\bar v}, que mede a incerteza na estimativa da média.
      Muitas vezes em relatórios de laboratório a notação \sigma_{m} indica a incerteza da média para a massa m, isto é, \sigma_{\bar v}. Vou explicar ambas e indicar como decidir qual usar.

Passo 3

Fórmulas e significado das variáveis (muito didático).
Seja uma lista de n medições de velocidade para uma dada massa: \{v_1,v_2,\dots,v_n\}.
A média aritmética \bar{v} é dada por
\bar{v}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} v_i
onde n é o número de medições e v_i é a i-ésima medição. Essa média é a estimativa do valor central.
O desvio-padrão amostral s (medida da dispersão) é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(v_i-\bar{v}\bigr)^2}.
Aqui:
  • o somatório \sum_{i=1}^{n}\bigl(v_i-\bar{v}\bigr)^2 soma os quadrados das diferenças entre cada medição e a média;
  • o divisor n-1 é usado (correção de Bessel) porque estamos estimando a variância da população a partir de uma amostra.
O erro padrão da média (desvio-padrão da média) é
\sigma_{\bar{v}}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Esse \sigma_{\bar v} representa a incerteza na estimativa \bar v; ou seja, como o valor médio oscilaria se repetíssemos o conjunto de n medições muitas vezes.

Passo 4

Quando usar s e quando usar \sigma_{\bar v}.
  • Se o enunciado pede “desvio-padrão das velocidades medidas” e pretende a dispersão das medidas individuais, então o que se quer é s.
  • Se o enunciado pede a incerteza associada à média (às vezes escrito \sigma_m quando m identifica a condição experimental), então o que se quer é \sigma_{\bar v}=s/\sqrt{n}.
    No contexto de relatórios experimentais é muito comum pedir a incerteza da média (erro padrão). A notação \sigma_m sugere que é a incerteza da média para a massa m. Se você souber qual interpretação seu professor quer (desvio amostral s ou erro da média \sigma_{\bar v}), escolha a fórmula correspondente. Caso não saiba, pergunte qual é a convenção da disciplina; eu vou explicar como calcular ambos.

Passo 5

Passo a passo prático (receita que você pode aplicar na prova ou laboratório) — sequência de operações a fazer quando tiver os dados:
  1. Reunir as n medições \{v_1,\dots,v_n\}.
  2. Calcular a soma das medições: \sum_{i=1}^n v_i.
  3. Calcular a média usando \displaystyle \bar{v}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n v_i.
  4. Para cada medição, calcular a diferença d_i=v_i-\bar v.
  5. Elevar ao quadrado cada diferença: d_i^2.
  6. Somar os quadrados: \displaystyle \sum_{i=1}^n d_i^2.
  7. Calcular a variância amostral: \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n d_i^2.
  8. Obter o desvio-padrão amostral: s=\sqrt{s^2}.
  9. Se quiser a incerteza da média, dividir por \sqrt{n}: \displaystyle \sigma_{\bar v}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
    Anote os resultados com a unidade das velocidades.

Passo 6

Fórmula alternativa computacionalmente conveniente (útil na prova quando quiser reduzir erros de arredondamento):
Você pode usar a identidade
\sum_{i=1}^n\bigl(v_i-\bar v\bigr)^2=\sum_{i=1}^n v_i^2 - n\bar v^2,
logo
s^2=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^n v_i^2 - n\bar v^2\Biggr).
Isso permite calcular a variância a partir de \sum v_i e \sum v_i^2 sem fazer muitos subtrações intermediárias que amplificam erro numérico.

Passo 7

Exemplo ilustrativo com dados fictícios (para eu te mostrar passo a passo numérico). ATENÇÃO: esses números são só um exemplo didático; não são as medidas do seu experimento e, portanto, não são a resposta para m=28\\ \mathrm{g} ou m=38\\ \mathrm{g}. Suponha que para uma massa tivéssemos n=5 medidas (em \mathrm{m/s}): \{2,10;\\\ 2,05;\\\ 2,12;\\\ 2,08;\\\ 2,09\}.
  1. Soma das medições: \displaystyle \sum v_i=2,10+2,05+2,12+2,08+2,09=10,44.
  2. Média: \displaystyle \bar v=\frac{10,44}{5}=2,088.
  3. Diferenças: d_i=v_i-\bar v são aproximadamente \{0,012;\\\ -0,038;\\\ 0,032;\\\ -0,008;\\\ 0,002\}.
  4. Quadrados: d_i^2 são aproximadamente \{0,000144;\\\ 0,001444;\\\ 0,001024;\\\ 0,000064;\\\ 0,000004\}.
  5. Soma dos quadrados: \displaystyle \sum d_i^2\approx 0,00268.
  6. Variância amostral: \displaystyle s^2=\frac{0,00268}{5-1}=0,00067.
  7. Desvio-padrão amostral: \displaystyle s=\sqrt{0,00067}\approx 0,0259\\ \mathrm{m/s}.
  8. Erro padrão da média: \displaystyle \sigma_{\bar v}=\frac{s}{\sqrt{5}}\approx\frac{0,0259}{2,236}\approx 0,0116\\ \mathrm{m/s}.
    Esse exemplo mostra como seguir as operações sem calculadora complexa (soma, média, diferenças, quadrados, raiz).

Passo 8

Resumo final e instrução prática para você obter os valores pedidos:
  • Se você me enviar as listas de velocidades medidas para m=28\\ \mathrm{g} e para m=38\\ \mathrm{g}, eu calculo passo a passo os valores numéricos de \sigma_{m}(28\\ \mathrm{g}) e \sigma_{m}(38\\ \mathrm{g}) usando as fórmulas acima.
  • Ou, seguindo a receita do Passo 5, você mesmo pode calcular: primeiro obtém \bar v, depois s e, se for o caso, \sigma_{\bar v}=s/\sqrt{n}.
  • Repare sempre em qual definição seu professor quer (desvio amostral s ou erro da média \sigma_{\bar v}); se ele usou a notação \sigma_m para “incerteza da média”, forneça \sigma_{\bar v}.

Resposta

\sigma_{m}(28\\ \mathrm{g}): não é possível calcular numericamente — faltam os valores das velocidades medidas para m=28\\ \mathrm{g}.
\sigma_{m}(38\\ \mathrm{g}): não é possível calcular numericamente — faltam os valores das velocidades medidas para m=38\\ \mathrm{g}.

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