Sem determinar os coeficientes, encontre uma solução particular(palpite) para a EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para encontrarmos uma solução particular para a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Conteúdo da matéria envolvido: Estamos lidando com EDOs lineares de segunda ordem com termos da forma
e
no lado direito. Para resolver, vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados, que nos ajuda a encontrar uma solução particular assumindo uma forma específica para
.
O que vamos precisar: Conhecer a forma da solução para termos que envolvem exponenciais multiplicadas por polinômios e funções trigonométricas, além de entender como montar a proposta de solução particular com coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, observamos que o lado direito da equação é uma combinação de termos do tipo
e
multiplicados por polinômios de segundo grau em
. Isso significa que nossa solução particular
também deve ter essa estrutura.
Teoria aplicada: Quando o lado direito de uma EDO é da forma
, onde
e
são polinômios, assumimos que a solução particular terá a forma:
Aqui,
é a multiplicidade da raiz
na equação característica da EDO homogênea.
Passo 3
Vamos encontrar a equação característica associada à EDO homogênea
. A equação característica é:
Teoria aplicada: Resolvemos essa equação para encontrar os valores de
, que nos dirão se há repetição de raízes que influenciarão a forma da solução particular.
Resolvendo a equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos comparar com o lado direito da EDO. Temos termos com
e
. Aqui,
e
.
Verificando a não repetição das raízes: Observamos que as raízes da equação característica homogênea são
. Como
não coincide com
, não há repetição.
Isso significa que nossa suposta forma para
não precisará ser multiplicada por
.
Passo 5
Assim, propomos uma solução particular na forma:
Explicação: Escolhemos polinômios de segundo grau porque os termos do lado direito têm
. Incluímos todas as combinações de
,
e constante para ambas as funções cosseno e seno, e deixamos os coeficientes
como indeterminados.
Passo 6
Portanto, sem determinar os coeficientes, a solução particular (palpite) para a EDO fornecida é:
Resposta
A solução particular é