Sem determinar os coeficientes, encontre uma solução particular(palpite) para a EDO
4 y^prime prime-4 y^prime+8 y=(2 x^2-3 x) e^2 x cos 2 x+(10 x^2-x-1) e^2 x sin 2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para encontrarmos uma solução particular para a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
4 y'' - 4 y' + 8 y = (2x^2 - 3x) e^2x cos 2x + (10x^2 - x -1 ) e^2x sin 2x
Conteúdo da matéria envolvido: Estamos lidando com EDOs lineares de segunda ordem com termos da forma e no lado direito. Para resolver, vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados, que nos ajuda a encontrar uma solução particular assumindo uma forma específica para .
O que vamos precisar: Conhecer a forma da solução para termos que envolvem exponenciais multiplicadas por polinômios e funções trigonométricas, além de entender como montar a proposta de solução particular com coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, observamos que o lado direito da equação é uma combinação de termos do tipo yp = e^ax [ (A x^n + dots + A0) cos bx + (B x^n + dots + B0) sin bx ] e multiplicados por polinômios de segundo grau em . Isso significa que nossa solução particular também deve ter essa estrutura.
Teoria aplicada: Quando o lado direito de uma EDO é da forma , onde e são polinômios, assumimos que a solução particular terá a forma:
Aqui, é a multiplicidade da raiz na equação característica da EDO homogênea.

Passo 3

Vamos encontrar a equação característica associada à EDO homogênea 4 r^2 - 4 r + 8 = 0 . A equação característica é:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 4 cdot 82 cdot 4 = 4 pm raiz16 - 1288 = 4 pm raiz-1128 = 4 pm i raiz1128 = 12 pm i raiz1128
Teoria aplicada: Resolvemos essa equação para encontrar os valores de r = 12 pm i raiz1128 = 12 pm i 4 raiz78 = 12 pm i raiz72 , que nos dirão se há repetição de raízes que influenciarão a forma da solução particular.
Resolvendo a equação:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos comparar com o lado direito da EDO. Temos termos com e . Aqui, e .
Verificando a não repetição das raízes: Observamos que as raízes da equação característica homogênea são . Como não coincide com , não há repetição.
Isso significa que nossa suposta forma para não precisará ser multiplicada por .

Passo 5

Assim, propomos uma solução particular na forma:
yp = e^2x [ (A x^2 + B x + C) cos 2x + (D x^2 + E x + F) sin 2x ]
Explicação: Escolhemos polinômios de segundo grau porque os termos do lado direito têm . Incluímos todas as combinações de , e constante para ambas as funções cosseno e seno, e deixamos os coeficientes como indeterminados.

Passo 6

Portanto, sem determinar os coeficientes, a solução particular (palpite) para a EDO fornecida é:
yp = e^2x [ (A x^2 + B x + C) cos 2x + (D x^2 + E x + F) sin 2x ]

Resposta

A solução particular é
yp = e^2x [ (A x^2 + B x + C) cos 2x + (D x^2 + E x + F) sin 2x ]

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