Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Se, inicialmente, há 100 mg de material, e se, após dois anos, observou-se o decaimento de 5 % do material, determine:
(A) A expressão da massa para um instante de tempo arbitrário t.
(B) A massa desse material após 6 anos.
© A meia-vida do material, isto é, tempo para o qual o material perde metade de sua massa original.

Passo 1

Estamos lidando com decaimento radioativo, que é um caso clássico de taxa de variação proporcional à quantidade presente. A matéria do curso aqui é equação diferencial de primeira ordem com solução exponencial, e precisamos: (A) achar a expressão da massa em função do tempo, (B) calcular essa massa em t=6 anos, e © determinar a meia-vida (tempo para a massa cair a metade).

Passo 2

O modelo de decaimento exponencial parte da equação diferencial
dmdt = -k,m(t)
onde k>0 é a constante de decaimento. A solução geral dessa equação é
m(t) = A,e^-k t,
onde A é o valor de m(0).

Passo 3

Usando a condição inicial m(0)=100 mg, temos A=100. Além disso, após 2 anos a massa cai 5%, ou seja, m(2)=95 mg. Substituindo em
95 = 100,e^-2k
segue
e^-2k = 0.95
Tomando ln de ambos os lados:
-2k = ln(0.95) Longrightarrow k = -tfrac12ln(0.95)

Passo 4

(A) Logo, a expressão da massa em função do tempo fica
m(t) = 100,e^-k t = 100,e^-l(-12ln(0.95)r),t = 100,(0.95)^tfract2(mg)

Passo 5

(B) Para t=6 anos, basta substituir na fórmula:
m(6) = 100,(0.95)^6/2 = 100,(0.95)^3 approx 100times0.857375 = 85.74 mg

Passo 6

© A meia-vida T_{1/2} satisfaz m(T_{1/2})=100/2. Ou use diretamente
T1/2 = ln(2)k = ln(2)-tfrac12ln(0.95) = 2ln(2)-ln(0.95) approx 27.0 anos

Resposta

(A) m(t)=100,(0.95)^t/2 mg
(B) m(6)approx85.74 mg
© T1/2approx27.0 anos

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