Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Se, inicialmente, há 100 mg de material, e se, após dois anos, observou-se o decaimento de
do material, determine:
(A) A expressão da massa para um instante de tempo arbitrário
.
(B) A massa desse material após 6 anos.
© A meia-vida do material, isto é, tempo para o qual o material perde metade de sua massa original.
(A) A expressão da massa para um instante de tempo arbitrário
(B) A massa desse material após 6 anos.
© A meia-vida do material, isto é, tempo para o qual o material perde metade de sua massa original.
Passo 1
Estamos lidando com decaimento radioativo, que é um caso clássico de taxa de variação proporcional à quantidade presente. A matéria do curso aqui é equação diferencial de primeira ordem com solução exponencial, e precisamos: (A) achar a expressão da massa em função do tempo, (B) calcular essa massa em t=6 anos, e © determinar a meia-vida (tempo para a massa cair a metade).
Passo 2
O modelo de decaimento exponencial parte da equação diferencial
onde k>0 é a constante de decaimento. A solução geral dessa equação é
onde A é o valor de m(0).
Passo 3
Usando a condição inicial m(0)=100 mg, temos A=100. Além disso, após 2 anos a massa cai 5%, ou seja, m(2)=95 mg. Substituindo em
segue
Tomando ln de ambos os lados:
Passo 4
(A) Logo, a expressão da massa em função do tempo fica
Passo 5
(B) Para t=6 anos, basta substituir na fórmula:
Passo 6
© A meia-vida T_{1/2} satisfaz m(T_{1/2})=100/2. Ou use diretamente
Resposta
(A)
mg
(B) mg
© anos
(B)
©