Calcule a integral iterada.
integralpi / 2^pi integral0^x^2 1x cos yx d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integralx=pi/2^pi integraly=0^x^2 1x cosyx ,dy,dx. O assunto principal é integral iterada e vamos usar uma mudança de variável na integral interna para simplificar.

Passo 2

Para resolver a integral interna, fazemos a substituição u = yx. Então y = xu e dy = x,du. Quando y=0, u=0 e quando y=x^2, u=x.
A integral interna fica:
integral0^x^2 1x cosyx ,dy = integral0^x cos u ,du = sin u |0^x = sin x

Passo 3

Logo a integral iterada original reduz-se a calcular
integralpi/2^pi sin x ,dx

Passo 4

Agora basta achar a antiderivada de sin x, que é -cos x, e avaliar nos limites:
integralpi/2^pi sin x ,dx = -cos x |pi/2^pi = l(-cospir) - l(-cos(pi/2)r) = (1) - (0) = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados