Determinar a condição para , y e de modo que ( ) seja combinaçảo linear dos vetores e .
Solução
Devemos ter:
de onde vem o sistema:
O vetor ( x, y, z) somente será combinaçâo linear de v1 e v2 se o sistema tiver solução, e isto somente ocorre se:
x-y-2 z=0
ou:
x=y+2 z
Espaços vetoriais
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Assim, todos os vetores (x, y, z) in R^3, que sāo combinações lineares de v1 e v2, têm a forma:
(y+2 z, y, z)
com y, z in R.
Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado. Observemos que os vetores v1 e v2 nâo são colineares. O vetor a1 v1 tem a direçâo de v1, e o vetor a2 v2, a direçāo de v2. Logo, todos os vetores (x, y, z) in R^3 do tipo
(x, y, z)=a1 v1+a2 v2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as condições para que o vetor (x, y, z) seja uma combinação linear dos vetores v1 e v2. Isso envolve álgebra linear, mais especificamente o conceito de combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que relaciona os componentes dos vetores e encontrar quando esse sistema tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor (x, y, z) como uma combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1). Isso significa que existem escalares a1 e a2 tais que:
(x, y, z) = a1(1, -3, 2) + a2(2, 4, -1)
Passo 3
Agora, vamos distribuir os escalares dentro dos vetores:
Agora, vamos separar isso em um sistema de equações para encontrar a1 e a2:
a1 + 2a2 = x -3a1 + 4a2 = y 2a1 - a2 = z
Passo 5
Queremos que esse sistema tenha solução para a1 e a2. Para isso, precisamos que as equações sejam consistentes, ou seja, que não haja contradições. Vamos resolver o sistema para encontrar uma relação entre x, y e z que garante essa consistência.
Passo 6
Vamos resolver o sistema. Primeiro, da terceira equação:
2a1 - a2 = z Rightarrow a2 = 2a1 - z
Passo 7
Substituímos a2 na primeira equação:
a1 + 2(2a1 - z) = x a1 + 4a1 - 2z = x 5a1 = x + 2z a1 = x + 2z5
Passo 8
Agora, substituímos a1 na expressão de a2:
a2 = 2(x + 2z5) - z = 2x + 4z5 - z = 25x - 15z
Passo 9
Por fim, substituímos a1 e a2 na segunda equação para verificar a consistência:
-3(x + 2z5) + 4(2x - z5) = y -3x - 6z + 8x - 4z5 = y 5x - 10z5 = y x - 2z = y
Resposta
A condição para que (x, y, z) seja uma combinação linear de v1 e v2 é: