Escreva (a1 a2 a3 ldots ak)^-1 em notação de ciclo. Para quais valores de k cada k-ciclo será seu próprio inverso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o inverso de um ciclo de k elementos na notação de ciclo. Além disso, queremos descobrir para quais valores de k esse ciclo será igual ao seu próprio inverso. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre permutações e ciclos na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ciclo. Em permutações, um ciclo como (a1, a2, a3, ldots, ak) significa que a1 vai para a2, a2 vai para a3, e assim por diante, até ak que volta para a1. É uma forma de representar como os elementos são rearranjados.

Passo 3

Agora, o inverso de uma permutação é aquela que desfaz a ação da permutação original. Ou seja, se aplicarmos a permutação e depois seu inverso, voltamos à posição inicial. Para encontrar o inverso de um ciclo, basta inverter a ordem dos elementos no ciclo.

Passo 4

Então, o inverso de (a1, a2, a3, ldots, ak) será (ak, ak-1, ldots, a3, a2, a1). Isso porque, na nova ordem, cada elemento retorna ao seu predecessor, desfazendo assim a permutação original.

Passo 5

Agora, queremos saber para quais valores de k o ciclo será igual ao seu próprio inverso. Ou seja, quando (a1, a2, a3, ldots, ak) = (ak, ak-1, ldots, a3, a2, a1). Isso acontece quando inverter a ordem dos elementos não muda o ciclo original.

Passo 6

Para que isso seja verdadeiro, o ciclo deve ser tal que cada par de elementos equidistantes das extremidades seja o mesmo após a inversão. Isso acontece quando o ciclo possui pares que se correspondem, o que é possível somente se k for igual a 1 ou 2.

Resposta

Portanto, cada k-ciclo será seu próprio inverso apenas quando k = 1 ou k = 2.

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