Para determinar a condutividade térmica de uma haste longa e sólida de 2,5 cm de diâmetro, metade da haste foi inserida em um forno enquanto a outra metade é projetada no ar a 27^circ C. Após o estado estacionário ter sido atingido, as temperaturas de dois pontos a 7,6 cm de distância foram medidas, sendo T 1=126^circ C e T 2=91^circ C. O coeficiente de transferência de calor sobre a superficie da haste exposta ao ar foi estimado em 22,7 W / m^2 K. Qual é a condutividade térmica da haste?

Passo 1

O enunciado descreve uma barra cilíndrica de diâmetro d=2,5:cm cuja metade está dentro de um forno (temperatura interna constante e não fornecida) e a outra metade exposta ao ar ambiente a Tinfty=27^circC. Em regime estacionário, mediu-se na parte exposta duas temperaturas separadas por De<a x=7,6:cm: T1=126^circC e T2=91^circC. O coeficiente de convecção na superfície é h=22,7:W/(m^2cdot K). Precisamos encontrar a condutividade térmica k do material, modelando o problema como condução unidimensional na barra com perda de calor por convecção ao longo da superfície.

Passo 2

Calcular área da seção e perímetro da barra:
A = pi d^24 , P = pi d
Convertendo d=2,5:cm=0,025:m obtemos
A = pi,(0,025)^24approx0,0004909:m^2, P = pi,(0,025)approx0,07854:m

Passo 3

Em regime estacionário a equação de energia unidimensional com convecção lateral é
d^2thetadx^2 - m^2,theta = 0,
onde theta(x)=T(x)-Tinfty e
m^2 = h,Pk,A

Passo 4

Para um comprimento efetivamente grande comparado à escala 1/m, a solução no trecho interno pode aproximar-se de
theta(x)=theta(0),exp(-m,x)
Logo, tomando dois pontos x1 e x2 separados por De<a x,
theta(x1)theta(x2) =T1 - TinftyT2 - Tinfty =expl(m,De<a xr) Longrightarrow m = 1De<a xln!gl(T1 - TinftyT2 - Tinftygr)

Passo 5

Substituindo valores ( De<a x=0,076:m, T1-Tinfty=126-27=99:K, T2-Tinfty=91-27=64:K):
m = 10,076ln!l(9964r) approx5,73:m^-1

Passo 6

Desse valor de m voltamos à definição de m^2 para isolar k:
k = h,Pm^2,A
Numericamente,
m^2approx(5,73)^2=32,8:m^-2, h,P=22,7times0,07854approx1,78:W/(mcdot K),
k = 1,7832,8times0,0004909 approx1,11times10^2:W/(mcdot K)

Resposta

A condutividade térmica da haste é aproximadamente
k approx 1,11times10^2:W/(mcdot K)

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