Determinar o conjunto e fazer o gráfico da região de continuidade da função f(x, y)= ln (x+yx^2-y^2).

Passo 1

O exercício pede para encontrar o conjunto de pontos em
que a função
f(x,y)=lnl(x+yx^2-y^2r)
é contínua, ou seja, determinar o domínio de continuidade e desenhar a região no plano (conteúdo: domínio de funções de duas variáveis e propriedades de continuidade de logaritmo).

Passo 2

Para a função ln(u) estar definida e contínua, precisamos ter o argumento u=(x+y)/(x^2-y^2) estritamente positivo. Além disso, não podemos ter divisão por zero, ou seja, x^2-y^2neq0 e nem x+y=0 (pois isso anularia o numerador).

Passo 3

Vamos então impor as condições de domínio:
  1. x^2-y^2neq0, isto é, x-yneq0 e x+yneq0.
  2. x+yx^2-y^2>0.
Para analisar o sinal do quociente, note que
x+yx^2-y^2=x+y(x-y)(x+y)
e, desde que x+yneq0, simplifica-se para
x+y(x-y)(x+y)=1x-y
Portanto a condição de positividade fica
1x-y>0
ímplies x-y>0, ou seja, x>y.

Passo 4

Reunindo tudo, o domínio de continuidade é
(x,y)in R^2:;x>ycom a única exceção de não incluir a reta x+y=0 úçãã
Geometricamente, é o semiplano aberto abaixo da reta y=x (onde x>y), retirando os pontos em que x+y=0 (outra reta diagonal).

Passo 5

No gráfico, desenhe duas retas tracejadas: uma de inclinação +1 (
y=x
) e outra de inclinação −1 (
x+y=0
). A região válida fica toda à esquerda da reta y=x (isto é, onde x>y) mas sem tocar a reta x+y=0. Essas duas regiões desconectadas (acima e abaixo da segunda reta) formam o domínio completo.

Resposta

O domínio de continuidade é D={(x,y)\in\mathbb R^2:;x>yex+y\neq0\}, representado no plano por todo o semiplano aberto x>y excluindo a reta x+y=0.

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