Determinar o conjunto e fazer o gráfico da região de continuidade da função
.
Passo 1
O exercício pede para encontrar o conjunto de pontos em
que a função
que a função
é contínua, ou seja, determinar o domínio de continuidade e desenhar a região no plano (conteúdo: domínio de funções de duas variáveis e propriedades de continuidade de logaritmo).
Passo 2
Para a função
estar definida e contínua, precisamos ter o argumento
estritamente positivo. Além disso, não podemos ter divisão por zero, ou seja,
e nem
(pois isso anularia o numerador).
Passo 3
Vamos então impor as condições de domínio:
-
, isto é, e . -
.
Para analisar o sinal do quociente, note que
e, desde que
, simplifica-se para
Portanto a condição de positividade fica
ímplies
, ou seja,
.
Passo 4
Reunindo tudo, o domínio de continuidade é
Geometricamente, é o semiplano aberto abaixo da reta
(onde
), retirando os pontos em que
(outra reta diagonal).
Passo 5
No gráfico, desenhe duas retas tracejadas: uma de inclinação +1 (
) e outra de inclinação −1 (
). A região válida fica toda à esquerda da reta (isto é, onde
) mas sem tocar a reta
. Essas duas regiões desconectadas (acima e abaixo da segunda reta) formam o domínio completo.
) e outra de inclinação −1 (
). A região válida fica toda à esquerda da reta
Resposta
O domínio de continuidade é D={(x,y)\in\mathbb R^2:;x>yex+y\neq0\}, representado no plano por todo o semiplano aberto
excluindo a reta
.