Encontre o centro de massa e o momento de inércia e raio de rotação em torno do eixo y de uma placa fina delimitada pela linha y=1 e a parábola y=x^2 se a densidade for de.

Passo 1

Começamos descrevendo o problema: queremos o centro de massa ( bar x, bar y), o momento de inércia em torno do eixo y e o raio de rotação ky de uma placa fina com densidade de, limitada por y=x^2 e y=1. As fórmulas gerais são
massa
m=integral duplaR de
centro de massa
bar x=1mintegral duplaR x,de
momento de inércia
Iy=integral duplaR x^2,de
e raio de rotação
ky=raizIym

Passo 2

Para calcular a massa, integramos em coordenadas cartesianas com y de 0 a 1 e x de -raiz y a +raiz y:
[
m=\int_{y=0}^1\int_{x=-\sqrt y}^{\sqrt y}(y+1),dx,dy
=\int_0^1 2\sqrt y,(y+1),dy
=2\int_01\bigl(y{3/2}+y^{1/2}\bigr)dy
=2\Bigl(\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\Bigr)
=\frac{32}{15}.

Passo 3

Pela simetria em x e o fato de de depender só de y, temos bar x=0. Para bar y:
integral duplaR y,de
Logo
bar y=48/3532/15=914

Passo 4

Calculamos o momento de inércia em torno do eixo y:
Iy=integral duplaR x^2(y+1),dA =integral0^1integral-raiz y^raiz yx^2(y+1),dx,dy =integral0^123(y+1)y^3/2,dy =23integral0^1l(y^5/2+y^3/2r)dy =1635

Passo 5

Finalmente, o raio de rotação é
ky=raizIym=raiz16/3532/15=raiz314

Resposta

Centro de massa: (bar x,bar y)=(0,tfrac914); momento de inércia em torno de y: Iy=tfrac1635; raio de rotação: ky=raiztfrac314.

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