Encontre o centro de massa e o momento de inércia e raio de rotação em torno do eixo y de uma placa fina delimitada pela linha
e a parábola
se a densidade for
.
Passo 1
Começamos descrevendo o problema: queremos o centro de massa (
,
), o momento de inércia em torno do eixo
e o raio de rotação
de uma placa fina com densidade
, limitada por
e
. As fórmulas gerais são
massa
centro de massa
momento de inércia
e raio de rotação
Passo 2
Para calcular a massa, integramos em coordenadas cartesianas com
de 0 a 1 e
de
a
:
[
m=\int_{y=0}^1\int_{x=-\sqrt y}^{\sqrt y}(y+1),dx,dy
=\int_0^1 2\sqrt y,(y+1),dy
=2\int_01\bigl(y{3/2}+y^{1/2}\bigr)dy
=2\Bigl(\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\Bigr)
=\frac{32}{15}.
m=\int_{y=0}^1\int_{x=-\sqrt y}^{\sqrt y}(y+1),dx,dy
=\int_0^1 2\sqrt y,(y+1),dy
=2\int_01\bigl(y{3/2}+y^{1/2}\bigr)dy
=2\Bigl(\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\Bigr)
=\frac{32}{15}.
Passo 3
Pela simetria em
e o fato de
depender só de
, temos
. Para
:
Logo
Passo 4
Calculamos o momento de inércia em torno do eixo
:
Passo 5
Finalmente, o raio de rotação é
Resposta
Centro de massa:
; momento de inércia em torno de
:
; raio de rotação:
.