Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{ \begin{array}{r}x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+3 x_{3}-x_{4}=7 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=6 \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=6\end{array}\right.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o problema dá e o que pede.
O sistema de equações é
\begin{cases} x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\\[4pt] 3x_{1}+3x_{3}-x_{4}=7,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}+2x_{4}=6,\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+3x_{4}=6. \end{cases}
O que o enunciado pede: determinar o conjunto- solução, isto é, encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, que satisfazem todas as quatro equações simultaneamente.
Informações dadas (repetindo de forma clara):
  • Quatro equações lineares em quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,.
  • Objetivo: resolver o sistema (ver se tem solução única, infinita ou nenhuma e, se houver solução, escrever os valores).]

Passo 2

Escolho o método de eliminação (eliminação de Gauss), que é prático para sistemas lineares. Vou escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra, multiplicar linha por escalar não nulo). A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 0 & 3 & -1 & 7\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 3 & 6 \end{array}\right],
onde cada linha corresponde a cada equação (coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e a coluna à direita é o termo independente).
Explicação curta sobre a ideia: quero transformar essa matriz numa forma triangular superior (zeros abaixo dos pivôs) para depois resolver por substituição regressiva.]

Passo 3

Primeiro passo prático: colocar um pivô não nulo na primeira coluna. Troco a linha 1 com a linha 3 (porque a linha 1 tem 0 na coluna 1).
Operação: R_{1}\leftrightarrow R_{3}. A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 3 & 0 & 3 & -1 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 3 & 6 \end{array}\right].
Agora uso o pivô da primeira linha ( 1 na posição (1,1)) para zerar as entradas abaixo na primeira coluna.
Faço:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1},
  • R_{4}\leftarrow R_{4}-2R_{1}.
Calculemos cada nova linha:
  • R_{2}-3R_{1}:\;[3,0,3,-1,7]-3[1,1,1,2,6]=[0,-3,0,-7,-11].
  • R_{4}-2R_{1}:\;[2,3,1,3,6]-2[1,1,1,2,6]=[0,1,-1,-1,-6].
A matriz vira
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 0 & -3 & 0 & -7 & -11\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & -6 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora escolho um pivô conveniente na segunda coluna. A linha 3 tem 1 na coluna 2, que é bom (evita frações). Troco R_{2} com R_{3}:
Operação: R_{2}\leftrightarrow R_{3}. Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 0 & -7 & -11\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & -6 \end{array}\right].
Uso o pivô 1 em (2,2) para zerar as entradas nas outras linhas da coluna 2:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2} (para zerar a entrada 1 em (1,2)),
  • R_{3}\leftarrow R_{3}+3R_{2} (para zerar -3 em (3,2)),
  • R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{2} (para zerar 1 em (4,2)).
Calculemos:
  • R_{1}-R_{2}:[1,1,1,2,6]-[0,1,1,1,0]=[1,0,0,1,6].
  • R_{3}+3R_{2}:[0,-3,0,-7,-11]+3[0,1,1,1,0]=[0,0,3,-4,-11].
  • R_{4}-R_{2}:[0,1,-1,-1,-6]-[0,1,1,1,0]=[0,0,-2,-2,-6].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -4 & -11\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -2 & -6 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora olhamos para a terceira coluna. A linha 3 tem coeficiente 3 em (3,3); usarei essa linha como pivô para eliminar a entrada em (4,3).
Para eliminar -2 em R_{4}, faço uma combinação inteira: 2\cdot R_{3} + 3\cdot R_{4} fica com coeficiente zero em x_{3}. Mas é mais direto trabalhar substituindo por operações simples e depois resolver; vou fazer eliminação direta em termos algébricos para chegar a uma linha que permita resolver x_{4}.
Outra forma mais transparente: a partir das linhas atuais podemos ler as três últimas equações transformadas em forma equivalente:
Da linha 3:
3x_{3}-4x_{4}=-11.
Da linha 4:
-2x_{3}-2x_{4}=-6.
Vou usar essas duas equações para resolver x_{3} e x_{4}. Isto é equivalente a continuar a eliminação.

Passo 6

Resolver o sistema das duas equações em [x_{3},x_{4}):
Equações:
\begin{cases} 3x_{3}-4x_{4}=-11,\\[4pt] -2x_{3}-2x_{4}=-6. \end{cases}
Multiplico a segunda equação por 3\] e a primeira por \(2 para eliminar x_{3} somando-as (escolha para evitar frações):
  • 2\cdot(3x_{3}-4x_{4})=2\cdot(-11) 6x_{3}-8x_{4}=-22.
  • 3\cdot(-2x_{3}-2x_{4})=3\cdot(-6) -6x_{3}-6x_{4}=-18.
Somando as duas:
(6x_{3}-8x_{4})+(-6x_{3}-6x_{4}) = -22 + (-18).
Isto simplifica para
-14x_{4} = -40.
Logo
x_{4}=\dfrac{-40}{-14}=\dfrac{20}{7}.
Com x_{4}=\dfrac{20}{7}, volto à equação 3x_{3}-4x_{4}=-11 para achar x_{3}:
3x_{3}-4\cdot\frac{20}{7}=-11.
Calcule o termo:
3x_{3}-\frac{80}{7}=-11.
Coloco -11 sobre denominador 7: -11=-\dfrac{77}{7}. Então
3x_{3} = -\dfrac{77}{7} + \dfrac{80}{7} = \dfrac{3}{7}.
Portanto
x_{3} = \dfrac{1}{7}.]

Passo 7

Agora uso as linhas superiores (já triangularizadas) para obter x_{2} e x_{1}.
Da linha 2 (na forma reduzida obtida):
x_{2}+x_{3}+x_{4}=0.
Substituo x_{3}=\dfrac{1}{7} e x_{4}=\dfrac{20}{7}:
x_{2} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{20}{7} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_{2} + \dfrac{21}{7}=0.
Como \dfrac{21}{7}=3, segue
x_{2} = -3.
Da linha 1 (forma reduzida):
x_{1}+x_{4}=6.
Substituo x_{4}=\dfrac{20}{7}:
x_{1} = 6 - \dfrac{20}{7} = \dfrac{42}{7}-\dfrac{20}{7} = \dfrac{22}{7}.

Passo 8

Checagem rápida (verificação): substituindo todos os valores no sistema original (por exemplo na segunda equação 3x_{1}+3x_{3}-x_{4}):
3\cdot\dfrac{22}{7} + 3\cdot\dfrac{1}{7} - \dfrac{20}{7} = \dfrac{66+3-20}{7}=\dfrac{49}{7}=7,
confere. As demais equações também conferem (pode-se verificar, por segurança).
Concluímos que o sistema é compatível determinado (solução única).

Resposta

x_{1}=\dfrac{22}{7}
x_{2}=-3
x_{3}=\dfrac{1}{7}
x_{4}=\dfrac{20}{7}

Exercícios relacionados