O que o enunciado pede: determinar o conjunto- solução, isto é, encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, que satisfazem todas as quatro equações simultaneamente.
Informações dadas (repetindo de forma clara):
Quatro equações lineares em quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,.
Objetivo: resolver o sistema (ver se tem solução única, infinita ou nenhuma e, se houver solução, escrever os valores).]
Passo 2
Escolho o método de eliminação (eliminação de Gauss), que é prático para sistemas lineares. Vou escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra, multiplicar linha por escalar não nulo). A matriz aumentada inicial é
onde cada linha corresponde a cada equação (coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e a coluna à direita é o termo independente).
Explicação curta sobre a ideia: quero transformar essa matriz numa forma triangular superior (zeros abaixo dos pivôs) para depois resolver por substituição regressiva.]
Passo 3
Primeiro passo prático: colocar um pivô não nulo na primeira coluna. Troco a linha 1 com a linha 3 (porque a linha 1 tem 0 na coluna 1).
Operação: R_{1}\leftrightarrow R_{3}. A matriz fica
Agora olhamos para a terceira coluna. A linha 3 tem coeficiente 3 em (3,3); usarei essa linha como pivô para eliminar a entrada em (4,3).
Para eliminar -2 em R_{4}, faço uma combinação inteira: 2\cdot R_{3} + 3\cdot R_{4} fica com coeficiente zero em x_{3}. Mas é mais direto trabalhar substituindo por operações simples e depois resolver; vou fazer eliminação direta em termos algébricos para chegar a uma linha que permita resolver x_{4}.
Outra forma mais transparente: a partir das linhas atuais podemos ler as três últimas equações transformadas em forma equivalente:
Da linha 3:
3x_{3}-4x_{4}=-11.
Da linha 4:
-2x_{3}-2x_{4}=-6.
Vou usar essas duas equações para resolver x_{3} e x_{4}. Isto é equivalente a continuar a eliminação.
Passo 6
Resolver o sistema das duas equações em [x_{3},x_{4}):