Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{ \begin{aligned} x-3 y+2 z & =18 \\ 5 x-15 y+10 z & =18\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto-solução do sistema linear com incógnitas x,y,z\). As equações fornecidas são: \[\begin{cases} x-3y+2z=18\\[4pt] 5x-15y+10z=18 \end{cases}
As informações relevantes são: as duas equações são lineares em (x,y,z] e os coeficientes da segunda equação parecem relacionados aos da primeira.]

Passo 2

Vamos observar os vetores de coeficientes das duas equações. O vetor de coeficientes da primeira equação é (1,-3,2) e o da segunda é (5,-15,10). Note que
(5,-15,10)=5\cdot(1,-3,2).
Isto significa que as componentes da segunda equação são obtidas multiplicando as componentes da primeira por 5. Em linguagem simples: as duas equações têm a mesma combinação de x,y,z à esquerda, até uma constante multiplicativa.
Se as partes à esquerda são proporcionais, vamos multiplicar a primeira equação por 5 para comparar exatamente:
5\cdot(x-3y+2z)=5\cdot18.
Calculando cada lado obtemos
5x-15y+10z=90.
Compare isso com a segunda equação original
5x-15y+10z=18.
Subtraindo membro a membro (ou simplesmente observando) chega-se a uma contradição numérica:
5x-15y+10z-(5x-15y+10z)=90-18
o que dá
0=72.
Ou, se preferir a subtração na ordem original,
0=-72.
Em qualquer caso o resultado é uma igualdade falsa (um zero igual a um número não nulo), ou seja, uma contradição.

Passo 3

O que essa contradição significa? Significa que não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente as duas equações. Geometricamente: cada equação representa um plano em \mathbb{R}^3; como os vetores normais dos planos são proporcionais, os planos são paralelos (têm a mesma orientação). Como os termos independentes ( 18 e 90 no caso de comparar) não têm a mesma proporção, os planos são planos paralelos distintos — então não se intersectam. Portanto o sistema é incompatível (não tem solução).
Regra prática rápida que ajuda muito na prova: se uma equação é um múltiplo exato da outra nas coeficientes das incógnitas, compare os termos independentes. Se o termo independente também for o mesmo múltiplo, então as equações são dependentes (infinitas soluções ao combinar com outras equações). Se o termo independente não obedecer ao mesmo múltiplo, há contradição e o sistema não tem solução. Aqui esse último caso aconteceu.

Resposta

\varnothing

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