Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto-solução do sistema linear com incógnitas
As informações relevantes são: as duas equações são lineares em (x,y,z] e os coeficientes da segunda equação parecem relacionados aos da primeira.]
Passo 2
Vamos observar os vetores de coeficientes das duas equações. O vetor de coeficientes da primeira equação é
e o da segunda é
. Note que
Isto significa que as componentes da segunda equação são obtidas multiplicando as componentes da primeira por
. Em linguagem simples: as duas equações têm a mesma combinação de
à esquerda, até uma constante multiplicativa.
Se as partes à esquerda são proporcionais, vamos multiplicar a primeira equação por
para comparar exatamente:
Calculando cada lado obtemos
Compare isso com a segunda equação original
Subtraindo membro a membro (ou simplesmente observando) chega-se a uma contradição numérica:
o que dá
Ou, se preferir a subtração na ordem original,
Em qualquer caso o resultado é uma igualdade falsa (um zero igual a um número não nulo), ou seja, uma contradição.
Passo 3
O que essa contradição significa? Significa que não existe nenhum triplo
que satisfaça simultaneamente as duas equações. Geometricamente: cada equação representa um plano em
; como os vetores normais dos planos são proporcionais, os planos são paralelos (têm a mesma orientação). Como os termos independentes (
e
no caso de comparar) não têm a mesma proporção, os planos são planos paralelos distintos — então não se intersectam. Portanto o sistema é incompatível (não tem solução).
Regra prática rápida que ajuda muito na prova: se uma equação é um múltiplo exato da outra nas coeficientes das incógnitas, compare os termos independentes. Se o termo independente também for o mesmo múltiplo, então as equações são dependentes (infinitas soluções ao combinar com outras equações). Se o termo independente não obedecer ao mesmo múltiplo, há contradição e o sistema não tem solução. Aqui esse último caso aconteceu.