Determinar o conjunto de valores reais de \lambda para que a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-x-y-z=\lambda represente:
(a) uma esfera

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-x-y-z=\lambda
e pede para determinar para quais valores reais de \lambda essa equação representa uma esfera.
Informações dadas:
  • A variável livre é o triplo (x,y,z) em \mathbb{R}^{3}.
  • O parâmetro é \lambda\in\mathbb{R}.
    O que se quer: encontrar os valores de \lambda tais que o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem a equação seja uma esfera (entendendo esfera no sentido usual: conjunto dos pontos a uma distância fixa de um centro; comentar também o caso degenerado se for o caso).

Passo 2

Lembrete prático (técnica que vamos usar): completar o quadrado.
Regra geral: para transformar x^{2}+bx em um quadrado perfeito, usa-se
x^{2}+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui cada termo quadrático tem coeficiente 1, e os termos lineares são todos com coeficiente -1. Aplicando a fórmula acima com b=-1 para cada variável vamos completar o quadrado para x,y,z.

Passo 3

Completar o quadrado para cada variável:
x^{2}-x=\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4},
y^{2}-y=\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4},
z^{2}-z=\left(z-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Somando as três expressões obtidas em bloco, substitui na equação original:
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4}+\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4}+\left(z-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4}=\lambda.
Agrupando os quadrados e os termos constantes:
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(z-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{3}{4}=\lambda.

Passo 5

Isolando a soma dos quadrados, obtemos a forma padrão da esfera:
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(z-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\lambda+\tfrac{3}{4}.
Interpretação:
  • O lado esquerdo é a soma dos quadrados das distâncias às coordenadas do centro \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
  • Portanto o raio \rho satisfaz \rho^{2}=\lambda+\tfrac{3}{4}.

Passo 6

Condição para que a equação represente:
  • Uma esfera propriamente dita (raio estritamente positivo): é necessário que \rho^{2}>0, ou seja
\lambda+\tfrac{3}{4}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda>-\tfrac{3}{4}.
Nesse caso o centro é \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) e o raio é \rho=\sqrt{\lambda+\tfrac{3}{4}}>0.
  • Uma esfera degenerada (um único ponto, raio nulo): ocorre quando \rho^{2}=0, ou seja
\lambda+\tfrac{3}{4}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda=-\tfrac{3}{4},
que corresponde ao ponto \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
  • Se \lambda<-\tfrac{3}{4} então \rho^{2}<0 e não há pontos reais que satisfaçam a equação (conjunto vazio).

Resposta

\lambda>-\tfrac{3}{4} (esfera não degenerada, centro \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr), raio \sqrt{\lambda+\tfrac{3}{4}}).
\lambda=-\tfrac{3}{4} (caso degenerado: um ponto, \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr)).

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