Determinar o conjunto de valores reais de
para que a equação
represente:
(a) uma esfera
(a) uma esfera
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar para quais valores reais de
essa equação representa uma esfera.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável livre é o triplo
em . - O parâmetro é
.
O que se quer: encontrar os valores detais que o conjunto de pontos que satisfazem a equação seja uma esfera (entendendo esfera no sentido usual: conjunto dos pontos a uma distância fixa de um centro; comentar também o caso degenerado se for o caso).
Passo 2
Lembrete prático (técnica que vamos usar): completar o quadrado.
Regra geral: para transformar em um quadrado perfeito, usa-se
Regra geral: para transformar
Aqui cada termo quadrático tem coeficiente
, e os termos lineares são todos com coeficiente
. Aplicando a fórmula acima com
para cada variável vamos completar o quadrado para
.
Passo 3
Completar o quadrado para cada variável:
Passo 4
Somando as três expressões obtidas em bloco, substitui na equação original:
Agrupando os quadrados e os termos constantes:
Passo 5
Isolando a soma dos quadrados, obtemos a forma padrão da esfera:
Interpretação:
- O lado esquerdo é a soma dos quadrados das distâncias às coordenadas do centro
. - Portanto o raio
satisfaz .
Passo 6
Condição para que a equação represente:
- Uma esfera propriamente dita (raio estritamente positivo): é necessário que
, ou seja
Nesse caso o centro é
e o raio é
.
- Uma esfera degenerada (um único ponto, raio nulo): ocorre quando
, ou seja
que corresponde ao ponto
.
- Se
então e não há pontos reais que satisfaçam a equação (conjunto vazio).