Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
\begin{aligned} & i_{1}+i_{2}-i_{4}=0 \\\ & -i_{1}-i_{2}-i_{3}=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas equações lineares nas incógnitas \,i_{1},i_{2},i_{3},i_{4}\,:
\begin{aligned} & \text{(1)}\quad i_{1}+i_{2}-i_{4}=0,\\[4pt] & \text{(2)}\quad -i_{1}-i_{2}-i_{3}=0. \end{aligned}
A pergunta é determinar se o conjunto formado por essas equações é linearmente independente ou linearmente dependente.
Informações relevantes dadas: as duas equações acima (não há outros dados numéricos).]

Passo 2

O que significa “equações linearmente independentes” neste contexto (explicação didática, passo-a-passo):
  • Cada equação linear pode ser vista como um vetor de coeficientes em \mathbb{R}^{4}, correspondente às incógnitas \,i_{1},i_{2},i_{3},i_{4}\,.
  • Se chamarmos de v_{1} o vetor de coeficientes da equação (1) e de v_{2} o vetor de coeficientes da equação (2), então:
v_{1} = (1,\,1,\,0,\,-1),\qquad v_{2}=(-1,\,-1,\,-1,\,0).
  • Relembrando a definição: os vetores v_{1},v_{2} são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial
\lambda\,v_{1}+\mu\,v_{2}=(0,0,0,0)
com escalares \lambda,\mu nem ambos nulos. Se a única solução for \lambda=\mu=0, então são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos escrever a condição de dependência com componentes e obter o sistema para \lambda e \mu. A soma componente a componente é:
\lambda(1,1,0,-1)+\mu(-1,-1,-1,0)=(0,0,0,0).
Isto produz quatro equações (uma para cada componente):
\begin{aligned} & \lambda - \mu = 0,\\[4pt] & \lambda - \mu = 0,\\[4pt] & 0 - \mu = 0,\\[4pt] & -\lambda + 0 = 0. \end{aligned}]

Passo 4

Resolver o sistema obtido para \lambda e \mu (faça como na prova: equacione componente por componente):
  • Da terceira componente vem
-\mu=0\quad\Rightarrow\quad \mu=0.
  • Substituindo \mu=0 na primeira componente:
\lambda - 0 = 0\quad\Rightarrow\quad \lambda=0.
  • A quarta componente dá a mesma informação -\lambda=0\Rightarrow\lambda=0. Todas as equações são satisfeitas apenas por \lambda=\mu=0.

Passo 5

Interpretação do resultado (aula curta):
  • Encontramos que a única combinação linear que anula v_{1} e v_{2} é a combinação trivial \lambda=\mu=0.
  • Pela definição, isso significa que os vetores de coeficientes são linearmente independentes.
  • Como as equações correspondem a esses vetores, o conjunto formado pelas duas equações é linearmente independente.

Resposta

As duas equações formam um conjunto linearmente independente.

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