Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
Passo 1
O enunciado dá duas equações lineares nas incógnitas
:
A pergunta é determinar se o conjunto formado por essas equações é linearmente independente ou linearmente dependente.
Informações relevantes dadas: as duas equações acima (não há outros dados numéricos).]
Informações relevantes dadas: as duas equações acima (não há outros dados numéricos).]
Passo 2
O que significa “equações linearmente independentes” neste contexto (explicação didática, passo-a-passo):
- Cada equação linear pode ser vista como um vetor de coeficientes em
, correspondente às incógnitas . - Se chamarmos de
o vetor de coeficientes da equação (1) e de o vetor de coeficientes da equação (2), então:
- Relembrando a definição: os vetores
são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial
com escalares
nem ambos nulos. Se a única solução for
, então são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos escrever a condição de dependência com componentes e obter o sistema para
e
. A soma componente a componente é:
Isto produz quatro equações (uma para cada componente):
Passo 4
Resolver o sistema obtido para
e
(faça como na prova: equacione componente por componente):
- Da terceira componente vem
- Substituindo
na primeira componente:
- A quarta componente dá a mesma informação
. Todas as equações são satisfeitas apenas por .
Passo 5
Interpretação do resultado (aula curta):
- Encontramos que a única combinação linear que anula
e é a combinação trivial . - Pela definição, isso significa que os vetores de coeficientes são linearmente independentes.
- Como as equações correspondem a esses vetores, o conjunto formado pelas duas equações é linearmente independente.
Resposta
As duas equações formam um conjunto linearmente independente.