Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
-e_{2}+e_{3}=0
\begin{aligned} & -e_{1}+e_{2}+e_{4}=0 \\\ & -e_{4}-e_{5}=0 \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • As equações fornecidas são: \text{(E1)}\quad -e_{2}+e_{3}=0
\text{(E2)}\quad -e_{1}+e_{2}+e_{4}=0
\text{(E3)}\quad -e_{4}-e_{5}=0
  • O pedido é: determinar quais conjuntos de equações são linearmente independentes ou linearmente dependentes. Vou considerar explicitamente os conjuntos:
    • S_1=\{\text{E1}\}
    • S_2=\{\text{E2},\text{E3}\}
    • (opcionalmente) S_3=\{\text{E1},\text{E2},\text{E3}\}
  • Informação útil que peguei do enunciado: as equações são lineares homogêneas em incógnitas e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}. Para testarmos dependência linear das equações, vou tratar cada equação como um vetor de coeficientes em \mathbb{R}^{5}:
    v_{1}=(0,-1,1,0,0), \quad v_{2}=(-1,1,0,1,0), \quad v_{3}=(0,0,0,-1,-1).

Passo 2

Conceito e método para testar dependência linear (aula rápida e concreta).
  • Definição: vetores v_{1},\dots,v_{k} são linearmente dependentes se existem escalares, não todos nulos, \alpha_{1},\dots,\alpha_{k} tais que
    \alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0.
    Se a única solução é \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0, então são linearmente independentes.
  • Interpretação prática: para testar um conjunto de equações, formo a combinação linear dos vetores de coeficientes e resolvo o sistema resultante componente a componente; se isso força todos os coeficientes escalares a zero, o conjunto é independente; caso contrário, é dependente.
  • Observação útil (truque rápido): um único vetor não nulo é sempre linearmente independente. Dois vetores são dependentes somente se um for múltiplo escalar exato do outro.

Passo 3

Teste do conjunto S_1=\{\text{E1}\} usando o conceito.
  • O vetor correspondente é v_{1}=(0,-1,1,0,0).
  • v_{1} é claramente diferente do vetor nulo, pois tem entradas não nulas.
  • Pelo fato geral: um único vetor não nulo é linearmente independente (não existe escalar \alpha\neq0 tal que \alpha v_{1}=0).

Passo 4

Teste do conjunto [S_2={E2,E3}). Aplicando o critério direto.
  • Escrevo uma combinação linear qualquer: a\,v_{2}+b\,v_{3}=0,com a,b\in\mathbb{R}. Em componentes, isso dá o sistema (compondo cada coordenada): \begin{cases} -a + 0\cdot b = 0 & (\text{componente }e_{1})\\[4pt] a + 0\cdot b = 0 & (\text{componente }e_{2})\\[4pt] 0\cdot a + 0\cdot b = 0 & (\text{componente }e_{3})\\[4pt] a - b = 0 & (\text{componente }e_{4})\\[4pt] 0\cdot a - b = 0 & (\text{componente }e_{5}) \end{cases}
  • Resolvo passo a passo:
    • Pela primeira equação: -a=0\] então \(a=0.
    • Substituindo em a+0\cdot b=0 confirma 0=0.
    • Pela quinta equação: -b=0 então b=0.
    • A quarta equação a-b=0 com a=0,b=0 também é satisfeita.
  • Conclusão do cálculo: a única solução é a=0 e b=0. Portanto não existem escalares não triviais que façam a combinação ser zero.]

Passo 5

(Teste extra) Dependência do conjunto completo [S_3={E1,E2,E3}).
  • Considero a combinação \alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}+\gamma\,v_{3}=0.Em componentes isso é: \begin{cases} 0\cdot\alpha -\beta + 0\cdot\gamma = 0 & (e_{1})\\[4pt] -\alpha + \beta + 0\cdot\gamma = 0 & (e_{2})\\[4pt] \alpha + 0\cdot\beta + 0\cdot\gamma = 0 & (e_{3})\\[4pt] 0\cdot\alpha + \beta - \gamma = 0 & (e_{4})\\[4pt] 0\cdot\alpha + 0\cdot\beta - \gamma = 0 & (e_{5}) \end{cases}
  • Resolvo sistema:
    • Da primeira equação: -\beta=0\] então \(\beta=0.
    • Da terceira equação: \alpha=0.
    • Da quinta equação: -\gamma=0 então \gamma=0.
    • As equações restantes ficam 0=0, consistentes.
  • Resultado: somente a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0. Logo os três vetores são linearmente independentes.]

Resposta

S_{1}=\{\text{E1}\} é linearmente independente.
S_{2}=\{\text{E2},\text{E3}\} é linearmente independente.
S_{3}=\{\text{E1},\text{E2},\text{E3}\} é linearmente independente.

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