Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
- As equações fornecidas são:
-
O pedido é: determinar quais conjuntos de equações são linearmente independentes ou linearmente dependentes. Vou considerar explicitamente os conjuntos:
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- (opcionalmente)
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Informação útil que peguei do enunciado: as equações são lineares homogêneas em incógnitas
. Para testarmos dependência linear das equações, vou tratar cada equação como um vetor de coeficientes em :
Passo 2
Conceito e método para testar dependência linear (aula rápida e concreta).
-
Definição: vetores
são linearmente dependentes se existem escalares, não todos nulos, tais que Se a única solução é, então são linearmente independentes. -
Interpretação prática: para testar um conjunto de equações, formo a combinação linear dos vetores de coeficientes e resolvo o sistema resultante componente a componente; se isso força todos os coeficientes escalares a zero, o conjunto é independente; caso contrário, é dependente.
-
Observação útil (truque rápido): um único vetor não nulo é sempre linearmente independente. Dois vetores são dependentes somente se um for múltiplo escalar exato do outro.
Passo 3
Teste do conjunto
usando o conceito.
- O vetor correspondente é
. -
é claramente diferente do vetor nulo, pois tem entradas não nulas. - Pelo fato geral: um único vetor não nulo é linearmente independente (não existe escalar
tal que ).
Passo 4
Teste do conjunto [S_2={E2,E3}). Aplicando o critério direto.
- Escrevo uma combinação linear qualquer:
com . Em componentes, isso dá o sistema (compondo cada coordenada): - Resolvo passo a passo:
- Pela primeira equação: .
- Substituindo em
confirma . - Pela quinta equação:
então . - A quarta equação
com também é satisfeita.
- Conclusão do cálculo: a única solução é
e . Portanto não existem escalares não triviais que façam a combinação ser zero.]
Passo 5
(Teste extra) Dependência do conjunto completo [S_3={E1,E2,E3}).
- Considero a combinação
Em componentes isso é: - Resolvo sistema:
- Da primeira equação: .
- Da terceira equação:
. - Da quinta equação:
então . - As equações restantes ficam
, consistentes.
- Resultado: somente a solução trivial
. Logo os três vetores são linearmente independentes.]