Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
-e_{2}-e_{2}+e_{4}=0
\begin{aligned} & -e_{3}+e_{4}-e_{5}=0 \\\ & -e_{1}-e_{2}+e_{3}+e_{5}=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos fornece três equações envolvendo os vetores base e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Equações fornecidas:
- e_{2} - e_{2} + e_{4} = 0
- e_{3} + e_{4} - e_{5} = 0
- e_{1} - e_{2} + e_{3} + e_{5} = 0
O que o enunciado pede:
  • Determinar se o conjunto formado por essas equações é linearmente independente ou linearmente dependente.
  • Identificar, se for o caso, quais subconjuntos são independentes ou dependentes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada equação é uma combinação linear dos vetores e_{1},\dots,e_{5} igual a 0.
  • Na primeira equação há soma de -e_{2} duas vezes; isso pode ser simplificado para -2e_{2}+e_{4}=0.

Passo 2

Converter cada equação em um vetor de coeficientes no espaço \mathbb{R}^{5} em relação à base ordenada (e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}).
Regra: uma equação do tipo
c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}+c_{3}e_{3}+c_{4}e_{4}+c_{5}e_{5}=0
corresponde ao vetor de coeficientes
(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5})\in\mathbb{R}^{5}.
Aplicando isso às três equações:
  • Primeira equação -e_{2}-e_{2}+e_{4}=0 simplificada é -2e_{2}+e_{4}=0. Então o vetor de coeficientes é
v_{1}=(0,-2,0,1,0).
  • Segunda equação -e_{3}+e_{4}-e_{5}=0
v_{2}=(0,0,-1,1,-1).
  • Terceira equação -e_{1}-e_{2}+e_{3}+e_{5}=0
v_{3}=(-1,-1,1,0,1).
Agora temos três vetores v_{1},v_{2},v_{3} em \mathbb{R}^{5}. A independência linear das equações equivale à independência linear desses vetores.

Passo 3

Lembrar a definição de independência linear e como testá-la.
Definição: um conjunto de vetores \{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0. Caso exista uma solução não-trivial (alguma \alpha_{i}\neq0), o conjunto é linearmente dependente.
Estratégia prática: montar a combinação linear
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0
e resolver para \alpha,\beta,\gamma. Se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0, os vetores são independentes.

Passo 4

Escrever explicitamente a combinação linear e separar em componentes (coordenadas). Usando os vetores encontrados:
\alpha(0,-2,0,1,0)+\beta(0,0,-1,1,-1)+\gamma(-1,-1,1,0,1)=(0,0,0,0,0).
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema (uma equação para cada coordenada e_{1},\dots,e_{5}):
coordenada de e_{1}:
0\cdot\alpha+0\cdot\beta+(-1)\cdot\gamma=0\quad\Rightarrow\quad -\gamma=0.
coordenada de e_{2}:
-2\alpha+0\cdot\beta+(-1)\cdot\gamma=0\quad\Rightarrow\quad -2\alpha-\gamma=0.
coordenada de e_{3}:
0\cdot\alpha+(-1)\cdot\beta+1\cdot\gamma=0\quad\Rightarrow\quad -\beta+\gamma=0.
coordenada de e_{4}:
1\cdot\alpha+1\cdot\beta+0\cdot\gamma=0\quad\Rightarrow\quad \alpha+\beta=0.
coordenada de e_{5}:
0\cdot\alpha+(-1)\cdot\beta+1\cdot\gamma=0\quad\Rightarrow\quad -\beta+\gamma=0.
Observação: as equações para e_{3} e e_{5} são idênticas ( -\beta+\gamma=0), o que é consistente.

Passo 5

Resolver o sistema obtido de forma direta, passo a passo.
Da equação da coordenada e_{1}:
-\gamma=0\quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
Substituindo \gamma=0 na equação da coordenada e_{3} (ou e_{5}):
-\beta+\gamma=0\quad\Rightarrow\quad -\beta+0=0\quad\Rightarrow\quad \beta=0.
Substituindo \gamma=0 na equação da coordenada e_{2}:
-2\alpha-\gamma=0\quad\Rightarrow\quad -2\alpha-0=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=0.
A equação da coordenada e_{4} \alpha+\beta=0, que com \alpha=\beta=0 está satisfeita.
Concluímos que a única solução é
\alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 6

Interpretar o resultado e concluir sobre independência linear.
Como a combinação linear \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0 tem apenas a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
Portanto, o conjunto das três equações fornecidas é linearmente independente. Consequências práticas:
  • Qualquer subconjunto com apenas uma equação (vetor não-nulo) é linearmente independente.
  • Qualquer par de equações também é linearmente independente (porque se uma dependência entre duas existisse, isso junto com a terceira poderia violar a independência total; mais diretamente, já que os três são independentes, nenhum deles é combinação linear dos outros dois).
  • O posto (rank) do conjunto é 3 (há três vetores independentes).

Resposta

O conjunto formado pelas três equações é linearmente independente.
Todos os subconjuntos próprios não-triviais (cada par e cada equação isolada) também são linearmente independentes.

Exercícios relacionados