Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
Passo 1
O enunciado nos fornece três equações envolvendo os vetores base
. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Equações fornecidas:
O que o enunciado pede:
- Determinar se o conjunto formado por essas equações é linearmente independente ou linearmente dependente.
- Identificar, se for o caso, quais subconjuntos são independentes ou dependentes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada equação é uma combinação linear dos vetores
igual a . - Na primeira equação há soma de
duas vezes; isso pode ser simplificado para .
Passo 2
Converter cada equação em um vetor de coeficientes no espaço
em relação à base ordenada
.
Regra: uma equação do tipo
corresponde ao vetor de coeficientes
Aplicando isso às três equações:
- Primeira equação
simplificada é . Então o vetor de coeficientes é
- Segunda equação
dá
- Terceira equação
dá
Agora temos três vetores
em
. A independência linear das equações equivale à independência linear desses vetores.
Passo 3
Lembrar a definição de independência linear e como testá-la.
Definição: um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Caso exista uma solução não-trivial (alguma
), o conjunto é linearmente dependente.
Estratégia prática: montar a combinação linear
e resolver para
. Se a única solução for
, os vetores são independentes.
Passo 4
Escrever explicitamente a combinação linear e separar em componentes (coordenadas). Usando os vetores encontrados:
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema (uma equação para cada coordenada
):
coordenada de
:
coordenada de
:
coordenada de
:
coordenada de
:
coordenada de
:
Observação: as equações para
e
são idênticas (
), o que é consistente.
Passo 5
Resolver o sistema obtido de forma direta, passo a passo.
Da equação da coordenada
:
Substituindo
na equação da coordenada
(ou
):
Substituindo
na equação da coordenada
:
A equação da coordenada
dá
, que com
está satisfeita.
Concluímos que a única solução é
Passo 6
Interpretar o resultado e concluir sobre independência linear.
Como a combinação linear
tem apenas a solução trivial
, os vetores
são linearmente independentes.
Portanto, o conjunto das três equações fornecidas é linearmente independente. Consequências práticas:
- Qualquer subconjunto com apenas uma equação (vetor não-nulo) é linearmente independente.
- Qualquer par de equações também é linearmente independente (porque se uma dependência entre duas existisse, isso junto com a terceira poderia violar a independência total; mais diretamente, já que os três são independentes, nenhum deles é combinação linear dos outros dois).
- O posto (rank) do conjunto é
(há três vetores independentes).
Resposta
O conjunto formado pelas três equações é linearmente independente.
Todos os subconjuntos próprios não-triviais (cada par e cada equação isolada) também são linearmente independentes.
Todos os subconjuntos próprios não-triviais (cada par e cada equação isolada) também são linearmente independentes.