Determinar os conjuntos de \mathbb{R}^{3} que são LI: A=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,1,1),(-2,-1,1)\}
Passo 1
O enunciado pede que se determine quais conjuntos formados pelos vetores de A são linearmente independentes. Os vetores fornecidos (peguei-os do enunciado) são:
O objetivo concreto: identificar quais subconjuntos de A são LI (linearmente independentes). Não é pedida só a existência, mas a identificação explícita.
Passo 2
O que significa “linearmente independente” (definição e como testar).
Uma família de vetores \{u_1,\dots,u_k\} é linearmente independente quando a única solução do sistema
\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_k u_k=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Se existe uma solução não-trivial (alguma \alpha_i\neq0), os vetores são linearmente dependentes.
Um teste prático: montar uma matriz cujas colunas são os vetores e fazer eliminação de Gauss. O número de colunas que têm pivôs (o posto da matriz) é o número máximo de vetores linearmente independentes que se pode extrair do conjunto.
Em \mathbb{R}^3 não pode haver mais que 3 vetores LI. Então, se os quatro vetores estiverem no mesmo conjunto, necessariamente haverá dependência linear entre eles.
Passo 3
Vamos montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
Agora usar o pivô da segunda linha, segunda coluna (que é 3) para eliminar a entrada na terceira linha, segunda coluna. Faço R_3\leftarrow R_3+\tfrac{1}{3}R_2 (isso introduz frações mas é direto):
Podemos multiplicar a terceira linha por 3 para ficar mais limpo: terceira linha (0,0,1,0). Portanto a forma escalonada mostra pivôs nas colunas 1,2,3 e nenhuma nova pivot na coluna 4.]
Passo 5
Conclusão do posto e implicação básica:
O posto de M é 3 (há três pivôs). Em outras palavras, as colunas têm posto 3.
Logo, dentre as quatro colunas há exatamente três linearmente independentes e uma dependência linear entre as quatro.
Consequência prática: qualquer subconjunto de A com mais de 3 vetores (a própria A) é dependente; existem subconjuntos de tamanho 3 que são base (LI).
Passo 6
Encontrar a relação de dependência explícita (é útil para distinguir quais trios são LI). Queremos coeficientes a,b,c\) tais que
\[a v_1 + b v_2 + c v_3 = v_4.
Escrevendo por coordenadas (cada linha é uma equação):
\begin{cases} a - b - 3c = -2,\\[4pt] 2a + b + c = -1,\\[4pt] - a + c = 1. \end{cases}
Da terceira equação vem c = 1+a\]. Substituindo na primeira: \(a - b - 3(1+a) = -2\Rightarrow -2a - b = 1\Rightarrow b=-2a-1.
Verificação rápida: v_2-v_1=(-1,1,0)-(1,2,-1)=(-2,-1,1)=v_4. Está certo.]
Passo 7
Consequências das relações encontradas — quais subconjuntos são LI.
Conjuntos unitários: qualquer vetor não-nulo é LI sozinho. Todos os v_i são diferentes do vetor nulo, então \{v_1\},\{v_2\},\{v_3\},\{v_4\} são LI.
Pares: um par \{u,w\} é dependente só se um for múltiplo escalar do outro. Aqui nenhum par é múltiplo escalar (por inspeção das coordenadas); por exemplo não existe \lambda tal que v_2=\lambda v_1 porque as razões das coordenadas não coincidem. Logo todos os pares formados por dois vetores distintos de A são LI: \{v_i,v_j\} para i\neq j são LI.
Triples:
Como o posto é 3, há triples LI (existem exatamente {\rm posto} vetores independentes). Sabemos explicitamente que v_1,v_2,v_3 são LI (pivôs nas colunas 1,2,3 durante a eliminação). Além disso encontramos a relação v_4=v_2-v_1. Isso implica que qualquer triple que contenha simultaneamente v_1,v_2 e v_4 é dependente, porque v_4 está no espaço gerado por v_1,v_2.
Se um triple contém v_3, então ele é LI. Motivo: v_3 não está no span\{v_1,v_2\} (pode-se ver resolvendo \alpha v_1+\beta v_2=v_3, obtém-se inconsistência), portanto ao juntar v_3 com quaisquer dois outros vetores obtém-se posto 3. Assim os triples que contêm v_3 são LI.
Portanto os triples LI são exatamente: \{v_1,v_2,v_3\},\\ \{v_1,v_3,v_4\},\\ \{v_2,v_3,v_4\}.
O único triple que é dependente é \{v_1,v_2,v_4\} (porque v_4=v_2-v_1).
O conjunto com quatro vetores A=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} é dependente, pois existe a relação não-trivial encontrada.
Passo 8
Resumo final e interpretação para a prova (dicas rápidas):
Técnica geral usada: montar matriz com colunas os vetores, eliminar para achar pivôs (posto) e, em seguida, resolver para obter relações lineares explícitas.
Em \mathbb{R}^3 atenção: não pode haver mais de 3 vetores LI; se houver quatro, pelo menos um é combinação linear dos outros.
Para identificar quais triples são LI, ache as relações de dependência; quando um vetor aparece como combinação de dois específicos, qualquer triple contendo esses três é dependente; se um vetor não estiver no span de dois outros, então todo triple que o contenha e mais dois quaisquer terá posto 3.
Resposta
\{v_1\},\\ \{v_2\},\\ \{v_3\},\\ \{v_4\} são LI.\n
Todos os pares \{v_i,v_j\} com i\neq j são LI.\n
Os triples LI são \{v_1,v_2,v_3\},\\ \{v_1,v_3,v_4\},\\ \{v_2,v_3,v_4\}.\n
O triple \{v_1,v_2,v_4\} é linearmente dependente (pois v_4=v_2-v_1).\n
O conjunto A=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} é linearmente dependente (posto =3).