Determinar os conjuntos de \mathbb{R}^{3} que são LI:
A=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,1,1),(-2,-1,1)\}

Passo 1

O enunciado pede que se determine quais conjuntos formados pelos vetores de A são linearmente independentes. Os vetores fornecidos (peguei-os do enunciado) são:
v_1=(1,2,-1),\qquad v_2=(-1,1,0),\qquad v_3=(-3,1,1),\qquad v_4=(-2,-1,1).
O objetivo concreto: identificar quais subconjuntos de A são LI (linearmente independentes). Não é pedida só a existência, mas a identificação explícita.

Passo 2

O que significa “linearmente independente” (definição e como testar).
  • Uma família de vetores \{u_1,\dots,u_k\} é linearmente independente quando a única solução do sistema
\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_k u_k=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Se existe uma solução não-trivial (alguma \alpha_i\neq0), os vetores são linearmente dependentes.
  • Um teste prático: montar uma matriz cujas colunas são os vetores e fazer eliminação de Gauss. O número de colunas que têm pivôs (o posto da matriz) é o número máximo de vetores linearmente independentes que se pode extrair do conjunto.
  • Em \mathbb{R}^3 não pode haver mais que 3 vetores LI. Então, se os quatro vetores estiverem no mesmo conjunto, necessariamente haverá dependência linear entre eles.

Passo 3

Vamos montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
M=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
A ideia é reduzir M por eliminação de Gauss para descobrir o posto e relações entre as colunas.]

Passo 4

Fazer eliminação de Gauss passo a passo (operações elementares nas linhas).
Começo com M:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Eliminar abaixo do pivô da primeira coluna ( R_2\leftarrow R_2-2R_1, R_3\leftarrow R_3+R_1):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 7 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Agora usar o pivô da segunda linha, segunda coluna (que é 3) para eliminar a entrada na terceira linha, segunda coluna. Faço R_3\leftarrow R_3+\tfrac{1}{3}R_2 (isso introduz frações mas é direto):
  • Segunda linha permanece (0,3,7,3).
  • Terceira linha: (0,-1,-2,-1)+\tfrac{1}{3}(0,3,7,3)=(0,0,-2+\tfrac{7}{3},0)=(0,0,\tfrac{1}{3},0).
Assim obtemos
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 7 & 3\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}.
Podemos multiplicar a terceira linha por 3 para ficar mais limpo: terceira linha (0,0,1,0). Portanto a forma escalonada mostra pivôs nas colunas 1,2,3 e nenhuma nova pivot na coluna 4.]

Passo 5

Conclusão do posto e implicação básica:
  • O posto de M é 3 (há três pivôs). Em outras palavras, as colunas têm posto 3.
  • Logo, dentre as quatro colunas há exatamente três linearmente independentes e uma dependência linear entre as quatro.
  • Consequência prática: qualquer subconjunto de A com mais de 3 vetores (a própria A) é dependente; existem subconjuntos de tamanho 3 que são base (LI).

Passo 6

Encontrar a relação de dependência explícita (é útil para distinguir quais trios são LI). Queremos coeficientes a,b,c\) tais que \[a v_1 + b v_2 + c v_3 = v_4.
Escrevendo por coordenadas (cada linha é uma equação):
\begin{cases} a - b - 3c = -2,\\[4pt] 2a + b + c = -1,\\[4pt] - a + c = 1. \end{cases}
Da terceira equação vem c = 1+a\]. Substituindo na primeira: \(a - b - 3(1+a) = -2\Rightarrow -2a - b = 1\Rightarrow b=-2a-1.
Substituindo b e c na segunda equação:
2a + (-2a-1) + (1+a) = -1 \quad\Rightarrow\quad a=-1.
Então a=-1, logo c=1+a=0 e b=-2a-1=1. Portanto
-1\cdot v_1 + 1\cdot v_2 + 0\cdot v_3 = v_4,
ou seja
v_4 = v_2 - v_1.
Verificação rápida: v_2-v_1=(-1,1,0)-(1,2,-1)=(-2,-1,1)=v_4. Está certo.]

Passo 7

Consequências das relações encontradas — quais subconjuntos são LI.
  • Conjuntos unitários: qualquer vetor não-nulo é LI sozinho. Todos os v_i são diferentes do vetor nulo, então
    \{v_1\},\{v_2\},\{v_3\},\{v_4\} são LI.
  • Pares: um par \{u,w\} é dependente só se um for múltiplo escalar do outro. Aqui nenhum par é múltiplo escalar (por inspeção das coordenadas); por exemplo não existe \lambda tal que v_2=\lambda v_1 porque as razões das coordenadas não coincidem. Logo todos os pares formados por dois vetores distintos de A são LI:
    \{v_i,v_j\} para i\neq j são LI.
  • Triples:
    • Como o posto é 3, há triples LI (existem exatamente {\rm posto} vetores independentes). Sabemos explicitamente que v_1,v_2,v_3 são LI (pivôs nas colunas 1,2,3 durante a eliminação). Além disso encontramos a relação v_4=v_2-v_1. Isso implica que qualquer triple que contenha simultaneamente v_1,v_2 e v_4 é dependente, porque v_4 está no espaço gerado por v_1,v_2.
    • Se um triple contém v_3, então ele é LI. Motivo: v_3 não está no span \{v_1,v_2\} (pode-se ver resolvendo \alpha v_1+\beta v_2=v_3, obtém-se inconsistência), portanto ao juntar v_3 com quaisquer dois outros vetores obtém-se posto 3. Assim os triples que contêm v_3 são LI.
      Portanto os triples LI são exatamente:
      \{v_1,v_2,v_3\},\\ \{v_1,v_3,v_4\},\\ \{v_2,v_3,v_4\}.
      O único triple que é dependente é \{v_1,v_2,v_4\} (porque v_4=v_2-v_1).
  • O conjunto com quatro vetores A=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} é dependente, pois existe a relação não-trivial encontrada.

Passo 8

Resumo final e interpretação para a prova (dicas rápidas):
  • Técnica geral usada: montar matriz com colunas os vetores, eliminar para achar pivôs (posto) e, em seguida, resolver para obter relações lineares explícitas.
  • Em \mathbb{R}^3 atenção: não pode haver mais de 3 vetores LI; se houver quatro, pelo menos um é combinação linear dos outros.
  • Para identificar quais triples são LI, ache as relações de dependência; quando um vetor aparece como combinação de dois específicos, qualquer triple contendo esses três é dependente; se um vetor não estiver no span de dois outros, então todo triple que o contenha e mais dois quaisquer terá posto 3.

Resposta

\{v_1\},\\ \{v_2\},\\ \{v_3\},\\ \{v_4\} são LI.\n
Todos os pares \{v_i,v_j\} com i\neq j são LI.\n
Os triples LI são \{v_1,v_2,v_3\},\\ \{v_1,v_3,v_4\},\\ \{v_2,v_3,v_4\}.\n
O triple \{v_1,v_2,v_4\} é linearmente dependente (pois v_4=v_2-v_1).\n
O conjunto A=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} é linearmente dependente (posto =3).

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