determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores. \left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right],
\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right],
\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores em \mathbb{R}^3
é linearmente independente.
Conteúdo: independência linear em espaços vetoriais; método: teste pelo determinante e, caso sejam dependentes, resolução de sistema homogêneo para achar a relação de dependência.
Passo 2
Usamos o teste do determinante formando a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
Então \gamma=-2\alpha-3(-\tfrac{3}{4}\alpha)=\tfrac14\alpha, o que também satisfaz a terceira equação. Tomando \alpha=4 achamos \beta=-3 e \gamma=1, ou seja
4\,v_1 \;-\;3\,v_2 \;+\;1\,v_3 \;=\;0.
Resposta
O conjunto é linearmente dependente, com relação de dependência