determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores.
\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

Temos quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_4 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
O conteúdo é independência linear: vamos checar se existe combinação não trivial \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 + \delta v_4 = 0.

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica igual a zero:
\alpha\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} +\delta\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Traduzimos em um sistema para \alpha,\beta,\gamma,\delta:
\begin{cases} \alpha - \beta + \gamma = 0,\\\\ -\alpha + \beta + \delta = 0,\\\ \alpha + \gamma - \delta = 0,\\\ \beta - \gamma + \delta = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo por substituição:
– Da primeira equação \alpha = \beta - \gamma.
– Da segunda, substituindo \alpha, vem -(\beta-\gamma)+\beta+\delta=0 \gamma+\delta=0 \delta=-\gamma.
– Da terceira, (\beta-\gamma)+\gamma-(-\gamma)=0 \beta+\gamma=0 \beta=-\gamma.
– Na quarta, \beta-\gamma+\delta=0 vira -\gamma-\gamma+(-\gamma)=0 -3\gamma=0 \gamma=0.
Logo \gamma=\beta=\delta=\alpha=0, ou seja, só a solução trivial.

Resposta

Os quatro vetores são linearmente independentes.

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