Seja
I=\int_{1.5}^{3.0} x^{3} \ln x d x
(a) Calcule I pelo método do Trapézio composto/repetido com m=3 subintervalos.
(b) Calcule I pela regra 3 / 8 de Simpson (regra simples, isto é, m=3 subintervalos).
(c) Calcule I pela regra 1 / 3 de Simpson repetida com m=6 subintervalos.
(d) Represente graficamente, em um par de eixos cartesianos, o que foi feito em na letra (a), traçando a função f(x), os pontos envolvidos no cálculo da regra numérica e a área numérica obtida (com o polinômios envolvidos na regra numérica).

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
I = \int_{1.5}^{3.0} x^{3}\ln x \,dx
usando três métodos de quadratura numérica:
– trapézio composto com m=3,
– regra simples 3/8 de Simpson (também com m=3),
– regra composta 1/3 de Simpson com m=6.
Em cada caso calculamos h=(b-a)/m, avaliamos f(x_i)=x_i^3\ln x_i nos nós e aplicamos a fórmula correspondente. Na letra (d) desenhamos o polígono de trapézios e a curva f(x).

Passo 2

Método do trapézio composto com m=3.
Definimos
h=\frac{3.0-1.5}{3}=0.5, \quad x_i=1.5 + i\cdot0.5, \;i=0,1,2,3.
Calculamos
\begin{aligned} f_0&=f(1.5)=1.5^3\ln1.5\approx1.36846,\\\ f_1&=f(2.0)=8\ln2\approx5.54518,\\\ f_2&=f(2.5)=15.625\ln2.5\approx14.31705,\\\ f_3&=f(3.0)=27\ln3\approx29.66252. \end{aligned}
A fórmula do trapézio composto é
I_{\rm T} \approx h\Bigl(\frac{f_0+f_3}{2}+f_1+f_2\Bigr) =0.5\Bigl(\tfrac{1.36846+29.66252}2+5.54518+14.31705\Bigr) \approx17.68886.

Passo 3

Regra 3/8 de Simpson simples com m=3.
Aqui ainda h=0.5 e usamos
I_{3/8} \approx \frac{3h}{8}\bigl(f_0+3f_1+3f_2+f_3\bigr) = \frac{1.5}{8}\bigl(1.36846+3\cdot5.54518+3\cdot14.31705+29.66252\bigr) \approx16.99081.

Passo 4

Regra composta 1/3 de Simpson com m=6.
Agora
h=\frac{3.0-1.5}{6}=0.25, \quad x_i=1.5+i\cdot0.25, \;i=0,\dots,6.
Avaliações extras:
\begin{aligned} f_1&=f(1.75)\approx2.99689,& f_2&=f(2.00)\approx5.54518,& f_3&=f(2.25)\approx9.23800,\\\ f_4&=f(2.50)\approx14.31705,& f_5&=f(2.75)\approx21.03820,& f_6&=f(3.00)\approx29.66252. \end{aligned}
A fórmula composta é
I_{S} \approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0+f_6 +4\bigl(f_1+f_3+f_5\bigr) +2\bigl(f_2+f_4\bigr)\Bigr]
= \frac{0.25}{3}\Bigl[1.36846+29.66252 +4(2.99689+9.23800+21.03820) +2(5.54518+14.31705)\Bigr] \approx16.98732.

Passo 5

Representação gráfica do método do trapézio composto:
– traçar os eixos x e y;
– plotar a curva contínua f(x)=x^3\ln x em [1.5,3.0];
– marcar os pontos (x_i,f_i) para i=0,1,2,3;
– unir por segmentos de reta os pontos consecutivos, formando três trapézios;
– sombrear a região sob os segmentos de reta (a aproximação) e, se quiser, destacar o polinômio linear em cada subintervalo.

Resposta

(a) I\approx17.68886 pelo trapézio composto.
(b) I\approx16.99081 pela regra 3/8 de Simpson simples.
(c) I\approx16.98732 pela regra composta 1/3 de Simpson com m=6.
(d) A figura descrita no Passo 5.

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